例 如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求 CD 的长. 分析 要充分利用条件∠BED=30°，构造出以弦心距、半径、半弦组成的一个直角三角形，通过解直角三角形求得未知量. 解 过 O 作 OF⊥CD 于F，连结 CO， AE=6cm，EB=2cm， ∴AB=8cm ∴OA= 21AB=4cm，OE=AE-AO=2cm， 在 Rt△OEB 中， ∠CEA=∠BED=30°， ∴OF= 21OE=1cm. 在 Rt△CFO 中，OF =1cm，OC＝OA＝4cm， ∴CF=15OFOC22 cm． 又 OF⊥CD．∴ CD＝2CF＝2 15 cm． 答：CD 的长为 2 15 cm. 说明：此题是利用垂径定理的计算问题.在求有关弦心距、弦长和半径等问题时，常常利用弦心距和半径构成直角三角形求解；另外此题若直接利用以后的“相交弦定理”来解，较为困难. 例 已知：△ABC 内接于⊙O，AB=AC，半径OB=5cm，圆心 O 到 BC 的距离为 3cm，求AB 的长． 分析：①此题没有图形，在解题时应考虑到满足条件的图形，此题有两种情况；②利用条件构造垂径定理的基本图形解题． 解：分两种情况： （1）如图①，过 A 作 AD⊥BC 于D， 又 AB=AC，∴点O 在 AD 上，∴OD=3cm．连结 OB， 在 Rt△ODB 中，OB==5cm，OD=3cm，由勾股定理，得 222ODBDOB，∴4352222ODOBBD 在 Rt△ADB 中， AD=AO+OD=5+3=8cm，由勾股定理，得 222BDADAB，∴54842222BDADAB（cm） （2）如图②，同理可得： AB=52（cm）． 说明：①此题的目的主要是培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②作辅助线的能力． 例 在直径为 50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且 AB∥CD，求：AB 与 CD 之间的距离. 分析：此题没有图形，在解题时应考虑到满足条件的两弦可能在圆心的同侧，也可能在在圆心的OABDEFCABCOD图① ABCOD图② ABCDOEFABCDOEF两侧，即有两解. 解：（略，8cm，22cm） 说明：此题的目的主要是培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题. 例 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE⊥CD 于 E ，BF⊥CD 于 F .求证： CE=DF ；OE=OF 分析：本题的关键是作 OH⊥CD，构造垂径定理的基本图形解题，另外还用到平行线等分线段定理等. 证明：（一）过 O 作 OH⊥CD 于 H， AE⊥CD，BF⊥CD ∴AE∥OH∥BF AO = BO ∴EH = HF OH⊥CD 且 O ...
