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垂直于弦的直径VIP免费

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例 如图,已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E,AE=6cm,EB=2cm,∠BED=30°,求 CD 的长. 分析 要充分利用条件∠BED=30°,构造出以弦心距、半径、半弦组成的一个直角三角形,通过解直角三角形求得未知量. 解 过 O 作 OF⊥CD 于F,连结 CO, AE=6cm,EB=2cm, ∴AB=8cm ∴OA= 21AB=4cm,OE=AE-AO=2cm, 在 Rt△OEB 中, ∠CEA=∠BED=30°, ∴OF= 21OE=1cm. 在 Rt△CFO 中,OF =1cm,OC=OA=4cm, ∴CF=15OFOC22 cm. 又 OF⊥CD.∴ CD=2CF=2 15 cm. 答:CD 的长为 2 15 cm. 说明:此题是利用垂径定理的计算问题.在求有关弦心距、弦长和半径等问题时,常常利用弦心距和半径构成直角三角形求解;另外此题若直接利用以后的“相交弦定理”来解,较为困难. 例 已知:△ABC 内接于⊙O,AB=AC,半径OB=5cm,圆心 O 到 BC 的距离为 3cm,求AB 的长. 分析:①此题没有图形,在解题时应考虑到满足条件的图形,此题有两种情况;②利用条件构造垂径定理的基本图形解题. 解:分两种情况: (1)如图①,过 A 作 AD⊥BC 于D, 又 AB=AC,∴点O 在 AD 上,∴OD=3cm.连结 OB, 在 Rt△ODB 中,OB==5cm,OD=3cm,由勾股定理,得 222ODBDOB,∴4352222ODOBBD 在 Rt△ADB 中, AD=AO+OD=5+3=8cm,由勾股定理,得 222BDADAB,∴54842222BDADAB(cm) (2)如图②,同理可得: AB=52(cm). 说明:①此题的目的主要是培养学生的严密性思维和解题方法:确定图形——分析图形——数形结合——解决问题;②作辅助线的能力. 例 在直径为 50cm 的⊙O 中,弦AB=40cm,弦CD=48cm,且 AB∥CD,求:AB 与 CD 之间的距离. 分析:此题没有图形,在解题时应考虑到满足条件的两弦可能在圆心的同侧,也可能在在圆心的OABDEFCABCOD图① ABCOD图② ABCDOEFABCDOEF两侧,即有两解. 解:(略,8cm,22cm) 说明:此题的目的主要是培养学生的严密性思维和解题方法:确定图形——分析图形——数形结合——解决问题. 例 已知:如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,AE⊥CD 于 E ,BF⊥CD 于 F .求证: CE=DF ;OE=OF 分析:本题的关键是作 OH⊥CD,构造垂径定理的基本图形解题,另外还用到平行线等分线段定理等. 证明:(一)过 O 作 OH⊥CD 于 H, AE⊥CD,BF⊥CD ∴AE∥OH∥BF AO = BO ∴EH = HF OH⊥CD 且 O ...

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