异面直线所成的角求法- 汇总加分析2 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：3 异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法 ”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用 “补形法 ”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。直接平移法1．在空间四边形 ABCD 中，AD ＝BC＝2，E，F 分别为 AB 、CD 的中点， EF＝3 ，求 AD、BC 所成角的大小．解： 设 BD 的中点 G，连接 FG，EG。在△ EFG 中EF＝3FG＝EG＝1 ∴∠EGF＝120°∴AD 与 BC 成 60°的角。2．正ABC 的边长为 a，S 为ABC 所在平面外的一点， SA＝SB＝SC＝a，E，F 分别是 SC和 AB 的中点．求异面直线SA 和 EF 所成角．答案： 45°3．S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，且ASB＝BSC＝CSA＝2 ，M、N 分别是 AB 和 SC 的中点．求异面直线SM 与 BN 所成的角的余弦值．证明： 连结 CM，设 Q 为 CM 的中点，连结 QN 则 QN∥SM ∴∠QNB 是 SM 与 BN 所成的角或其补角连结 BQ，设 SC＝a，在△ BQN 中BN＝a25NQ＝ 21 SM＝42 a BQ＝a414∴COS∠QNB＝5102222NQBNBQNQBN4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B1C1 中，∠ BCA＝90°，M、N 分别是 A 1B1 和 A 1C1的中点，若 BC＝CA＝CC1，求 BM 与 AN 所成的角．解： 连接 MN ，作 NG∥BM 交 BC 于 G，连接 AG，易证∠ GNA 就是 BM 与 AN 所成的角．设：BC＝CA＝CC1＝2，则 AG＝AN ＝5 ，GN＝BM＝6 ，cos∠GNA ＝1030562556。B M A N C S 4 ABCDA1B1C1D1EF5．如图，在正方体1111DCBAABCD中， E、F 分别是1BB 、CD 的中点．求 AE 与FD1所成的角。证明 ：取 AB 中点 G，连结 A 1G，FG，因为 F 是 CD 的中点，所以 GF∥AD，又 A 1D1∥AD ，所以 GF∥A 1D1，故四边形 GFD1A 1 是平行四边形， A 1G∥D1F。设 A 1G 与 AE 相交于 H，则∠ A 1HA 是 AE 与 D1F 所成的角。因为 E 是 BB 1 的中点，所以 Rt△A1AG≌△ABE, ∠GA 1A=∠GAH,从而∠ A 1HA=90° , 即直线 AE 与 D1F 所成的角为直角。6．如图 1— 28 的正方体中， E 是 A′D...
