微积分入门的两个热身问题问题 1：曲线的切线问题如何作出一条给定曲线在某点处的切线，是引发微积分诞生的问题之一。我们先从一个简单例子说起。例 1 已知圆222xya 上的一点 A ， OA 与 x 轴的夹角为。求 A 点处的圆的切线。本例可以用解析几何方法求解。如图所示， 设 AB 是过圆上一点 A的切线，那么半径OA就是过 A的圆的法线。根据曲线在一点处的切线与法线的斜率之积等于—1 的原理，只须计算出AB 的斜率值，然后用点斜式直线方程不难写出AB 的方程。这个计算过程留给大家，因为这是中学生可以求解的问题。当曲线是一般形式时，中学的初等数学关于圆的切线的定义就成问题了，因为对圆的切线的定义是：与圆只有一个交点的直线。见下图，若用这样的定义就遇到了困惑：A 点处的切线与曲线不止一个交点。所以，一般曲线的切线的定义必须另行考虑，研究对象改变了，定义也应与时俱进地变。高等数学一般用“运动”或“变化”的思想加以考虑，因为高等数学希望致力于寻求普遍地解决问题的方法，而不是一个一个例子地讨论。考虑左图一个典型问题。设( )yf x 是定义在 ( , )a b 上的函数，它在坐标系Oxy 中为一条曲线。问题：过此曲线上的已知点000(,())P xf x作该曲线的切线。思想：作出过0P 点的任意一条割线，使之运动到“极限”位置置，这个极限位置的割线就是所求的切线。实现的方法： 设所求切线为0P T（见图）。考虑曲线上的任一点( ,( ))P x f x，连接0P P 作曲线的割线，显然，这样的割线是任意的。容易知，此割线的斜率等于00( )()fxf xkxx。（+）现在使 P 点沿曲线变动，那么割线的位置也随之变动。我们取这样的变动方式：使P 点逐步接近0P 点，则割线0P P 将接近0P T 。用极限的思想， P 无限接近0P 的过程的极限位置， 就是所求切线0PT 。联系到（ +）式，也就是说，割线的斜率的极限值就是所求切线的斜率0k ，用数学式子说，便是00000( )()limlimPPxxf xfxkkxx。（* ）于是，利用直线的点斜式方程，不难写出所求的切线方程！这么看来，求切线的关键是计算（*）式的极限。不过，在上述叙述的过程中，还隐含着许多疑问。比如，割线存在不存在极限位置？也就是极限的存在性。以后我们将会看到，对于相当普遍的函数 （包括中学里学过的所有初等函数），当 P 无限接近0P 时，割线0P P 确实存在一个极限位置，所以（ * ）所示的极限在大多数情况下可以计算出来。当然，...
