09 - 1 0 年 微 积 分( 高 数 ( 三 ) )（ 下 ） 期 末 复 习 指 导第六章定积分一．本章重点定积分的基本性质，定积分的计算，变上限定积分的求导法。二．复习要求1. 理解定积分的概念，知道定积分与不定积分的区别。函数( )f x 的不定积分是求导和求微分运算的逆运算。函数( )f x 在,a b 上的定积分是一个和式的极限，是一个确定的数，这个数只与被积函数( )fx 及积分区间,a b 有关。2. 理解并记住定积分的基本性质。3. 理解变上限定积分的概念，熟练掌握求变上限定积分的导数的方法：4. 熟练掌握用牛顿—莱布尼兹公式求定积分的方法。牛—莱公式将定积分与不定积分这两个截然不同的概念联系起来， 求定积分的值，只需求出被积函数( )f x 的一个原函数( )F x ，再应用牛—莱公式即可。因而计算定积分也与求不定积分类似，有直接积分法，换元积分法，分部积分法。5. 熟练掌握定积分的换元积分法，分部积分法。注意：用换元法求定积分时，换元必换限 ，无需还元 ；若是凑微分而不显示“换元”，则积分限不作变换 。定积分适用分部积分的类型及u 、dv的选择都与不定积分类似，唯一的区别是定积分的分部积分公式中每一项都带着积分上、下限，而且为了减少出错，要及时计算出auvb的值。6. 熟记奇偶函数在对称区间上的积分的性质。7．熟练掌握用定积分求平面图形的面积及平面图形绕坐标轴旋转而成的旋转体的体积。三．例题选解例 1.求极限0limx406arcsin 2xtdtx解: 这是 00型不定式，应用罗彼塔法则及变上限定积分求导法，有原式＝4350(arcsin2)4lim6xxxx＝235024lim6xxxx（无穷小代换）＝ 43例 2. 求定积分：⑴13214xx dx⑵dxxx411（3）21lnexxxdx . 解: ⑴ 根据奇函数在对称区间积分的性质，有：132140xx dx⑵．本题被积函数含一次函数的根式，且不能用直接积分法和凑微分求解，适用第二类换元法。令,tx则2 ,2xtdxtdt ；当1x时，1t，当4x时2t. dxxx411=tdttt21212=dttt212212=dttt21221222=dtt212122=21)arctan22(tt（3）显然本题积分21lnexxxdx 属适用分步积分的类型 .,根据)11(1xddxx，可得25552444 (41)525251eexe. 例 3. 求1yx 、 yx 、2x围成的平面图形的面积以及该平面图形绕X 轴旋转一周形成的旋转体的体积。解：由所给曲线方程解得交点：（1，1），（2， 12）， (2，2) .画出平面图形如下 : （1）求平面图形的面积 . 视平面图形为 X 形区域，得平面图...
