2009年第50届国际数学奥林匹克竞赛试题与参考答案VIP免费

蕴 秀 斋 2009 年第50 届IMO解答 2 0 0 9 年7 月1 5 日 1 、是一个正整数，是n12,,...,(2 )ka aa k ≥{}1 ,2 ,...,n 中的不同整数，并且1(1iin a a+ − )−)对于所有都成立，证明：1 ,2 ,...,1ik=1(1ka a −不能被n 整除。 证明 1 ：由于12(1n a a − ) ，令1( ,)n ap=，nqp=也是整数，则npq=，并且1p a ，21q a −。因此，由于2( ,)1q a=23(1npq a a)=−，故31q a −；同理可得41q a −，。。。，因此对于任意都有2i ≥1iq a − ，特别的有1kq a −，由于1p a ，故1 (1knpq a a)=−(*)。 若结论不成立，则1(1knpq a a=)−，与(*)相减可得1(kn aa−) ，矛盾。 综上所述，结论成立。 此题平均得分：4.804 分 上 善 若 水 蕴 秀 斋 2 、外接圆的圆心为O ，分别在线段上，ABC∆,P Q,CA AB, ,K L M 分别是,,BP CQ PQ的中点，圆过Γ, ,K L M 并且与相切。证明：OPPQOQ=。 KMLOBCAQP 证 明 ： 由 已 知MLKKMQAQP∠= ∠= ∠，MKLPMLAPQ∠= ∠= ∠， 因 此APQMKL∆∆∼。所以 APMKBQAQMLCP==，故 AP CPAQ BQ⋅=⋅(*)。 设圆O 的半径为 R，则由(*)有2222ROPROQ−=−，因此OPOQ=。 不难发现OP也是圆Γ 与相切的充分条件。 OQ=PQ 此题平均得分：3.710分 上 善 若 水 蕴 秀 斋 3 、是 严 格 递 增 的 正 整 数 数 列 ， 并 且 它 的 子 数 列和都是等差数列。证明：是一个等差数列。 123,,,...S SS123,,,...SSSSSS123111,,,.SSSSSS+++..123,,,...S SS问题等价于：:fZZ+ →+ 是一个严格递增的函数。()( )nbff n=是一个等差数列，也是一个等差数列。证明：( ( ) 1ncff n=)+( )naf n=也是等差数列。 证 明 ： 由 于是 一 个 严 格 递 增 的 整 值 函 数 ， 所 以 对 于 任 意f,x y 均 有( )( )f xf yxy−≥−。 令{ } { },nnbc的公差分别为，则有,d e()()(1)( )(1)(dff nff nf nf n=+−≥+−) ，将可得( )nf n→()()( ) 1( )0nndff nff ncb≥+−=−>，因此对于任意都有 kZ +∈()()11110kkdcbcbk de++≥−=−+−> 故只能有，也即两个等差数列公差相等，故可设de=nncbg−=是一个为常数。 由于有界，故(1)( )0df nf n≥+−>(1)(f nf n)+−有最大最小值，设,M m 分别是的最大、最小值。则对任意(1)(f nf n+−),x y 都有( )( )m...