1 二面角求法专题 正方体是研究立体几何概念的一个重要模型，中学立体几何教学中，求平面与平面所成的二面角是转化为平面角来度量的，也可采用一些特殊的方法求二面角，而正方体也是探讨求二面角大小方法的典型几何体。笔者通过探求正方体中有关二面角，分析求二面角大小的八种方法：（1）平面角定义法；（2）三垂线定理法；（3）线面垂直法；（4）判定垂面法；（5）异面直线上两点间距离公式法；（6）平行移动法；（7）投影面积法；（8）棱锥体积法。 一、 平面角定义法 此法是根据二面角的平面角定义，直接寻求二面角的大小。 以所求二面角棱上任意一点为端点，在二面角两个平面内 分别作垂直于棱的两条射线所成角就是二面角的平面角， 如图二面角α-l-β中，在棱l 上取一点O，分别在α、β 两个平面内作AO⊥l，BO⊥l，∠AOB 即是所求二面角的平面角。 例题1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，O、O1是上下底面正方形的中心，求二面角O1-BC-O 的大小。 例题2：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F 为A1D1、C1D1的中点，求平面EFCA 与底面ABCD所成的二面角。 B A O l β α H O G F E A D DC1 BAC B OO E A D DC1 BAC B 2 二、 利用三垂线定理法 此方法是在二面角的一个平面内过一点作另一个面的垂线，再由垂足（或仍是该点）作棱的垂线，连接该点和棱上的垂足（或连两垂足）两点线，即可得二面角的平面角。 如图二面角α-l-β中，在平面α内取一点A， 过A 作AB⊥平面β，B 是垂足， 由B（或A）作BO（或AO）⊥l， 连接AO（或BO）即得AO 是平面β的斜线， BO 是AO 在平面β中的射影， 根据三垂线定理（或逆定理）即得AO⊥l，BO⊥l， 即∠AOB 是α-l-β的平面角。 例题 3：已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-AC-B1的大小。 例题 4：已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中，求平面ACD1与平面BDC1所成的二面角。 三、 线面垂直法 此法利用直线垂直平面即该直线垂直平面内任何直线的性质来寻求二面角的平面角。方法是过所求二面角的棱上一点，作棱的垂面，与两个平面相交所得两条交线的所成角即是二面角的平面角。 如图在二面角α-l-β的棱上任取一点O，过O 作 平面γ⊥l，α∩γ=AO，β∩γ=BO，得∠AOB 是平面角， l⊥γ，l⊥AO，l⊥BO。 ∴∠AOB 是二面角的平面角。 B A O l β α O A D DC1 BAC B l B A γ β α O H G F O E A D DC1 BAC B 3 例题5...
