图1 二面角的计算方法精讲 二 面 角 是 高 中 数 学 的 主 要 内 容 之 一 ， 是 每 年 高 考 数 学 的 一 个 必 考 内 容 ， 本 文主 要 通 过 一 些 典 型 的 例 子 说 明 二 面 角 的 三 种 基 本 计 算 方 法 ， 供 同 学 们 学 习 参 考 。 一 、直接法：即先作出二面角的平面角，再利用解三角形知识求解之。通常作二面角的平面角的途径有： ⑴定义法：在二面角的棱上取一个特殊点，由此点出发在二面角的两个面内分别作棱的垂线； ⑵三垂线法：如图1，C 是二面角 AB的面 内 的一个点，CO 平 面 于O，只需作OD⊥AB 于D，连接CD，用三垂线定理可证明∠CDO 就是 所求二面角的平面角。 ⑶垂面法：即在二面角的棱上取一点，过此点作平面 ，使 垂直于二面角的棱，则 与二面角的两个面的交线所成的角就是该二面角的平面角。 例 1 如图2，在四棱锥 V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形, 平面VAD⊥底面ABCD． （1）证明AB⊥平面VAD； （2）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小． 解：（1）证明： VADABCDABADABVADABABCDADVADABCD 平面平面平面平面平面平面 （2）解：取VD 的中点E，连结 AF，BE， △VAD 是正三形，四边形ABCD 为正方形， ∴由勾股定理可知， 2222BDABADABVAVB, ∴AE⊥VD，BE⊥VD， ∴∠AEB 就是所求二面角的平面角. 又在Rt△ABE 中，∠BAE=90°，AE=32 AD=32 AB， 因此，tan∠AEB=.332AEAB 即得所求二面角的大小为.332arctan 例2 如图 3，AB⊥平面 BCD，DC⊥CB，AD 与平面BCD 成 30°的角，且 AB=BC. （1）求 AD 与平面 ABC 所成的角的大小； （2）求二面角 C-AD-B 的大小； （3）若 AB=2，求点 B 到平面 ACD 的距离。 解：(1) AB⊥平面 BCD ， ∴∠ADB 就是 AD 与平面 BCD 所成的角,即∠ADB=300,且 CD⊥AB， 又 DC⊥BC，ABBCB, ∴ CD⊥平面 ABC， ∴ AD 与平面 ABC 所成的角为∠DAC ， 设 AB=BC=a,则 AC=a2 ， BD=acot300=a3,AD=2a, aBCBDCD222, ∴ tan∠DAC=122aaCDAC, ∴ 045DAC, 即，AD 与平面 ABC 所成的角为 450. (2)作 CE⊥BD 于 E，取 AD 的中点 F，连 CF， AB⊥面 BCD， ABDAB 面， ∴ 面 ABD⊥面 BCD， ...
