拉普拉斯变换求解微分方程典型范例Laplace 变换在微分方程( 组 ) 求解范例引言Laplace 变换是由复变函数积分导出的一个非常重要的积分变换，它在应用数学中占有很重要的地位，特别是在科学和工程中，有关温度、电流、热度、放射现象等方面都有广泛的应用. 为了研究本文提出的各种问题，我们给出了Laplace 变换的概念以及一些性质. Laplace 变换的定义设函数 f(x) 在区间 0 +，上有定义，如果含参变量s 的无穷积分+0steft dt 对 s 的某一取值范围是收敛的. 则称F s+0steft dt为 函 数 的 Laplace变 换 ，( )f t 称 为 原 函 数 ，( )F s 称 为 象 函 数 ， 并 记 为LftF s . 性质 1 (Laplace变换存在定理 ) 如果函数( )f t 在区间 0,上逐段连续，且存在数0M，00s，使得对于一切0t有0( )s tf tMe, 则当0ss 时，( )F s存在 . 性质 2 ( 线性性质 ) 设函数和满足 Laplace 变换存在定理的条件，则在它们象函数定义域的共同部分上有Lf tg tLftL g t其中和是常数 . 性质 3 （原函数的微分性质） 如果 ft ，ft ，L ，nft 均满足 Laplace变换存在定理的条件，则0LftsL f tf或更一般地，有112000nnnnnLfts LftsfsffL. 性质 4 （象函数的微分性质）如果Lf tF s , 则+0stFsteft dtL tft或一般地有011nnnnstnFst eft dtL t ft. 主要结论及推导对于 Laplace 变换式，在积分号下对s 求导，得到0stFst ft edt（* ）即Ltf tFs再对（ * ）式求导，可得2L t f tFs在一般情况下，对于任一正整数n，有1nnnndLftFsds即1nnnndL t ftLftds从而1nnnmmndL t ftLftds（1）对性质 3 及（1）式，可得L x tX s0L x tsX sx200L xts X ssxxdX sdL tx tL x tdsds0dddL tx tL x tsX sxsX sdsdsdsX ssXs200ddL txtL xts X ssxxdsds20ds X ssxds220sX ss Xsx1、利用 Laplace 变换求解常系数微分方程例1 求 方 程331xxxx的 满足 初 始 条 件000xxx的解. 解 对方程两端进行 Laplace 变换得321331sssX ss由此得32331sssXss把上式右端分解成分式2311111+11X sssss对上式两端各项分别求出其原函数，再求和. 即得原微分方程的解为2211112122ttttX tetet ette例2 求 微 分 方 程322tyyye满 足 初 始 条 件02y,01y的特解 . 解 设 L y tY s ，对微分方程两端取Laplace 变换得22321s Y ssy s...
