x ' x 拉格朗日中值定理与高考数学[1] 拉格朗日中值定理：若函数f 满足如下条件：（ i） f 在闭区间[ a, b] 上连续；（）f 在开区间(a, b) 内可导；则在a,b 内至少存在一点，使得' f b f a f . b a f x 1、证明x f x a 或a 成立（其中x 0 ）x 例：（2007 年高考全国卷I第 20题）设函数f x e e .（Ⅰ）证明：f x 的导数f ' x 2 ；（Ⅱ）证明：若对所有x 0 ，都有f x ax ，则 a 的取值范围是( , 2] . （Ⅰ）略. （Ⅱ）证明：（i）当 x0 时，对任意的a ，都有f x ax ()当 x 0 时，问题即转化为a ex e x x 对所有 x 0 恒成立 . 令 G x ex e x f x f 0 ，由拉格朗日中值定理知0, x 内至少存在一点（从x x 0 而0 ），使得f 'f x f 0 ，即 G x f ' e e ，由于x 0 f '' e e e0e 0 0 ， 故 f '在0, x 上是增函数，让x 0 得G x min f e e f ' 0 2 ，所以a 的取值范围是( ,2] . 评注：第(2) 小题提供的参考答案用的是初等数学的方法.即令 g x f x ax ，再分a 2 和 a2 两种情况讨论.其中， a 2 又要去解方程g x0 .但这有两个缺点：首[2] ' 先，为什么a 的取值范围要以2 为分界展开.其次，方程g' x 0 求解较为麻烦.但用拉格朗日中值定理求解就可以避开讨论，省去麻烦. a b 二、证明g a g b 2g 2 (b a), b a 成立例：（2004年四川卷第22 题）已知函数f xln(1 x) x, g x x ln x .（Ⅰ）求函数f x 的最大值；（Ⅱ）设 0a b 2a ，证明：g a g b 2 ga b 2 (b a)ln 2 .（Ⅰ）略；（Ⅱ）证明：依题意，有g ' x ln x 1 g a g b 2 g a b 2 g b g a b2 g a b g a 2 由拉格朗日中值定理得，存在a, a b , 2 a b ,b ，使得2 g b g a b2 g a b 2 g a g ' g'b a ln ln b a 2 2 ln b a ln b b a ln 4a b a b a ln 2 2 a 2 a 2 评注：对于不等式中含有g a , g b , g a b2 a b 的形式，我们往往可以把g a b 2 g a 和 g b g a b ，分别对g a b 2 2 g a 和 g b g a b 两次2 运用拉格朗日中值定理. 三、证明f x1f x2x1 x2 成立[3] [4] 例：(26 年四川卷理第22题) 2 2 ' 已知函数f x x a ln x(x x 0), f x 的导函数是f x ， ...
