探求正四面体外接球、内切球半径求法VIP专享VIP免费

探求正四面体外接球、内切球半径正四面体是特殊的正三棱锥，所有的棱长都相等，四个面是全等的等边三角形，有外接球、内切球，且球心重合. 已知正四面体 ABCD棱长为 a ，设外接球半径为R ，内切球半径为r ，球心为 O，则正四面体的高h 是63a ，外接球半径是64a即34Rh ；内切球半径是612a 即14rh . 外接球半径是内切球半径的3 倍. 下面从不同角度、用不同方法进行探求：方法一：（勾股定理）作平面于点, 则点 H是的中心，AHBCDHBCD高63hAHa ，设 O为球心，则.OAH连结,.BH BO在 Rt BOH中，222BOBHOH ，即22236()()33RaaR，方法二：（三角正切倍角公式）作平面于点, 则点 H是的中心，AHBCDHBCD高63hAHa ，设 O为球心，则.OAH连结,.BH BO在 Rt ABH中，323tan,263aBHAHa在 Rt OBH中，333tan 2,3aBHaOHrr方法三：（分割等体积）作平面于点, 则点 H是的中心，AHBCDHBCD高63hAHa ，设 O为球心，则.OAH连结,,,BOCO DO得到四个以 O为顶点的小棱锥，它们的底面是正四面体的一个面，高是内切球的半径 r ，设正四面体每个面的面积为S ，则 4,O BCDABCDVV即114,33S rS AH方法四：（侧棱、高相似或三角）作平面于点, 则点 H是的中心，AHBCDHBCD高63hAHa ，设 O为球心，则.OAH设 M是 AB的中点，连结,,,OMOB BHAMOAHBRt，又MAOHAB，AMOAHB，AMAOAHAB，即2,63aRaa或：设BAHMAO，则在 Rt ABH中，63cosaAHABa，在 Rt AMO中，2cos.aAMAOR632aaaR，以下同上 . 方法五：（斜高、高相似或三角）作平面于点, 则点 H是的中心，AHBCDHBCD高63hAHa ，设 O为球心，则.OAH设 E 为 BC中点，连结,AE EH，作ONAE于 N 点，则 N 是 ABC中心， N 是 AE的三等分点，平面，ON是内切圆半径r,ONABC且,Rt ANORt AEHANAOAHAE，即336332aRaa，或：设EAHNAO，则在 Rt AEH中，63cos32aAHAEa，在 Rt ANO中，33cos.aANAOR633332aaRa，以下同上 . 方法六：（斜高、侧棱相似或三角）作平面于点, 则点 H是的中心，AHBCDHBCD高63hAHa ，设 O为球心，则.OAH设 E 为 BC中点，连结,,AE DE DO，延长 DO交 AE于 N ，则 N 是 AE的三等分点，.HDE且 DN平面.ABC则,Rt ODHRt DNEOHODNEDE即OHOD= NEDE13，13rR，3 .Rr又6,3RrAHha或：在 Rt DNE中，1sin,3NENDEDE在 Rt DOH中， sinsin,OHNDEODHOD13OHOD，即13rR，3 .Rr又6,3RrAHha方法七：（构造正方体）正四面体的四个顶点是正方体的顶点，此时正...