专题一 三角函数和平面向量 微切口 8 极化恒等式 设a，b是平面内的两个向量，则有a·b＝14[(a＋b)2(－ a－b)2]；极化恒等式的几何 意义是在△ABC中，若AD是BC边上的中线，则AB→·AC→＝AD2－BD2. (1) 在平面四边形 ABCD 中，E，F 分别是边 AD，BC 的中点，且 AB＝1，EF ＝ 2，CD＝ 5.若AD→ ·BC→＝15，则AC→·BD→ 的值为________． 14 【思维引导】 【解析】(1) 方法一()极化恒等式 ： (1)如图，取AB，AC，CD，BD的中点H，I，J，K. (例1(1)) 在四边形ABCD中，易知EF ，KI，HJ三线共点于O， 因为AD→ ·BC→15＝，所以HK→ ·HI→＝154 ＝HO2－IO2. 又因为AC→·BD→4＝ HE→ ·HF→4(＝HO2－F O2)， 在△EF I中，因为EF ＝ 2，EI＝ 52 ，F I＝12， 由中线长公式知IO2＝14，从而HO24＝ ， 所以AC→·BD→4＝ ×4－1214.＝ 方法二()坐标法 ： (2)建立如图所示的平面直角坐标系xAy， (1(2))例 设A(0,0)，B(1,0)，D(x1，y1)，C(x2，y2)． 因为BC→＝AC→－AB→(＝ x21－ ，y2)， 所以AD→ ·BC→(＝ x1，y1)·(x21－ ，y2)＝x1x2＋y1y2－x115.＝ 因为BD→ ＝AD→ －AB→(＝ x11－ ，y1)， 所以AC→·BD→(＝ x2，y2)·(x11－ ，y1)＝x1x2＋y1y2－x215＝＋x1－x2. 因为EF→ 2＝x12－x21＋22＋y12－y2222＝ ， (则 x1－x21)－2(＋ y1－y2)28＝ ， (即 x1－x2)2(＋ y1－y2)22(－x1－x2)18.＋ ＝ 又因为CD→ 2(＝ x1－x2)2(＋ y1－y2)25＝ ，所以AC→·BD→15＝＋x1－x214.＝ 方法三()基向量 ： 2因为 EF→＝AB→＋DC→ ， 4所以 EF→ 2＝AB→ 2＋DC→ 22＋ AB→·DC→ ， 又AB1＝ ，DC＝ 5，EF ＝ 2，所以AB→·DC→1.＝ 因为AD→ ·BC→15(＝，所以 AC→＋CD→ )·(BD→ ＋DC→ )15＝， 则AC→·BD→ ＋AC→·DC→ ＋CD→ ·BD→ －DC→ 215＝， 即AC→·BD→(＋ AB→＋BC→)·DC→ ＋CD→ ·(BC→＋CD→ )515－ ＝， 则AC→·BD→ ＋AB→·DC→15＝，故AC→·BD→14.＝ (2) 在梯形ABCD中， 若AD∥BC，AD＝1，BC＝3， AB→ · DC→ ＝2，则 AC→ · BD→ ＝________. 1 【解析】 如图(3)，过点 A 作 AE∥DC，交 BC 于点 E，取 BE 的中点 F，连接 AF，过点 D 作 DH∥AC，交 BC 的延长线于点 H，取 BH 的中点 G，连接 DG， (1(3))例 则AB→·DC...
