1、三角形ABC 中,AD 为中线,P 为AD 上任意一点,过p 的直线交AB 于M.交ac 于N,若AN=AM，求证PM/PN=AC/AB 证明：过P 点作BC 的平行线交AB,AC 分别于M',N'点；再分别过M,M'两点分别作AC 的平行线分别交AD(或延长线）于P',A'两点。 由M'N'平行BC 得：AC/AN'=AB/AM',即AC/AB=AN'/AM'.且M'P=N'P 由三角形AN'P 全等三角形A'M'P 得：M'A'=AN'.所以，AC/AB=A'M'/AM' 由三角形AM'A'相似三角形AMP'得：AM/AM'=MP'/A'M',即A'M'/AM'=MP'/AM 所以：AC/AB=MP'/AM 由三角形MP'P 相似三角形ANP 得：MP'/AN=MP/PN 而AN=AM 所以：MP'/AM=MP/PN 所以：AC/AB=MP/PN 1 题图 2 题图 2、在三角形BCD 中,BC=BD,延长BC 至A,延长BD 至E,使AC=BE,连接AD,AE,AD=AE,求BCD为等边 证明：过点A 作CD 的平行线交BE 的延长线于F 点。则∠BDC=∠F=∠BCD=∠A，即∠A=∠F. 又因为：四边形AFDC 是梯形 所以：AC=DF=FE+DE 而AC=BD+DE 所以：BD=FE 又因为：AD=AE,∠BDA=∠FEA 所以：三角形ABD 和三角形AFE 全等 所以：∠B=∠F 所以：∠B=∠BCD=∠BDC=60° 所以：三角形BCD 是等边三角形。 3、三角形ABC 中若圆 O 在变化过程中都落在三角形ABC 内(含相切), A 为60 度,AC 为8,AB为10,X 为未知数,是 AE 的长.圆 O 与 AB,AC 相切,圆 O 与 AB 的切点为E, X 的范围是？ 解：如图，当元 O 与三角形ABC 三条边都相切时，x 的值最大。此时： 过B 作BD 垂直AC,则可求得BD=5(√3),DC=3 根据勾股定理求得BC=2(√21) 设元O 与边AB,BC,CA 的切点分别为E,F,G,且AE=x,BE=y,CF=z,则有方程组： x+y=10,x+z=8,y+z=2(√21), 解这个方程组得：x=9-(√21) 因此：x 的范围是（0，9-√21 ] 4、已知三角形ABE 中 C 、D 分别为AB、BE 上的点，且AD=AE，三角形BCD 为等边三角形，求证BC+DE=AC 证明:过D 点作BE 的垂线DF,交AB 于F 点，过A 点作BE 的垂线AH,H 是垂足，再过F点作AH 的垂线FG,G 是垂足。 则：四边形DHGF 是矩形，有FG=DH. 而由△ADE 是等腰三角形得知DH=HE, 所以：FG=(1/2)DE. 又由于角B=60°， 所以：∠BAH=30° 所以：FG=(1/2)AF 所以：AF=DE 而在直角△BDF 中，由于∠B=∠BDC=60° 所以：∠CDF=∠CFD=30° 所以：CF=CD=BC 所以：BC+DE=CF+AF 即：BC+DE=AC 5、已知在三角形ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上的一点,且BE=AC,延长BE 交AC 与F,求证AF=EF 证明：如图...
