圆锥曲线的方程与性质 1 ．椭圆 （1）椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有21|| || 2MFMFa。 椭圆的标准方程为：22221xyab （ 0ab）（焦点在x 轴上）或12222 bxay（ 0ab）（焦点在y 轴上）。 注：①以上方程中 ,a b 的大小0ab，其中222bac； ②在22221xyab 和22221yxab两个方程中都有 0ab的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。例如椭圆221xymn（0m ，0n ，mn）当mn时表示焦点在x 轴上的椭圆；当 mn时表示焦点在y 轴上的椭圆。 （2）椭圆的性质 ①范围：由标准方程22221xyab 知| |xa，| |yb，说明椭圆位于直线xa ，yb 所围成的矩形里； ②对称性：在曲线方程里，若以 y代替 y 方程不变，所以若点( , )x y 在曲线上时，点( ,)xy也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以 x代替 x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。若同时以 x代替 x ，y代替 y方程也不变，则曲线关于原点对称。 所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心； ③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令0x ，得 yb ，则1(0,)Bb，2(0, )Bb 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y 得 xa ，即1(,0)Aa，2( ,0)A a是椭圆与x 轴的两个交点。 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长 半轴长和短半轴长。 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22Rt OB F中，2||OBb，2||OFc，22||B Fa，且2222222|| ||||OFB FOB，即222cab； ④离心率：椭圆的焦距与长轴的比cea叫椭圆的离心率。 0ac，∴01e，且e 越接近1，c 就越接近 a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0 ，c 就越接近于0 ，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆。当且仅当 ab时，0c ，两焦点重合，图形变为圆，方程为222xya。 2 ...
