复变函数经典例题VIP免费

第一章例题 例1 .1 试问函数 把平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线？ （1 ）以原点为心，2 为半径，在第一象项里的圆弧； （2 ）倾角 的直线； （3 ）双曲线。 解 设，则 因此 （1 ）在平面上对应的图形为：以原点为心，4 为半径，在上半平面的半圆周。 （2 ）在平面上对应的图形为：射线。 （3 ）因，故，在平面上对应的图形为：直线。 例1 .2 设在点连续，且，则在点的某以邻域内恒不为0 . 证 因在点连续，则，只要，就有 特别，取，则由上面的不等式得 因此，在邻域内就恒不为0 。 例1 .3 设 试证在原点无极限，从而在原点不连续。 证 令变点，则 从而（沿正实轴） 而沿第一象限的平分角线 ， 时，。 故在原点无确定的极限，从而在原点不连续。 第二章例题 例 2 .1 在平面上处处不可微 证 易知该函数在平面上处处连续。但 当时，极限不存在。因取实数趋于 0 时，起极限为 1 ，取纯虚数而趋于零时，其极限为－1 。故处处不可微。 例 2 .2 函数在满足定理 2 .1 的条件，但在不可微。 证 因。故 但 在时无极限，这是因让沿射线随而趋于零，即知上式趋于一个与有关的值。 例 2 .3 讨论的解析性 解 因, 故 要使条件成立，必有，故只在可微，从而，处处不解析。 例 2 .4 讨论的可微性和解析性 解 因, 故 要使条件成立，必有，故只在直线 上可微，从而，处处不解析。 例 2 .5 讨论的可微性和解析性，并求。 解 因, 而 在复平面上处处连续且满足条件，从而在平面上处处可微，也处处解析。且 。 例 2 .6 设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上且，试求之值。 解 设，则 由代入得 解得：，从而 。 例 2 .7 设则 且的主值为。 例 2 .8 考查下列二函数有哪些支点 (a) (b) 解 （a）作一条内部含 0 但不含 1 的简单闭曲线, 当沿正方向绕行一周时,的辐角得到增量,的辐角没有改变, 即 从而 故的终值较初值增加了一个因子，发生了变化，可见 0 是的支点。同理 1 也是其支点。 任何异于 0，1 的有限点都不可能是支点。因若设是含但不含 0，1 的简单闭曲线，则 故的终值较初值增加了一个因子 ，未发生变化。 最后不是的支点。因若设含 0 ，1 的简单闭曲线，则 故的终值较初值增加了一个因子，未发生变化。 （b ）可能的支点是 0 ，1 ，。设分别是含 0 但不含 1 ，含 1 但不含 0 ，和既含 0 ...