1 复合函数的定义域和解析式以及单调性 【复合函数相关知识】 1、复合函数的定义 如果y 是u 的函数，u 又是x的函数，即( )yf u，( )ug x，那么y 关于x的 函数( ( ))yf g x叫做函数( )yf u（外函数）和( )ug x（内函数）的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为x函数值为y 。 例如：函数2 12xy 是由2uy 和21ux 复合而成立。 说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数( ( ))yf g x中x 的取值范围。 ⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为( )g x 的值域。 ⑶))((xgf与))((xfg表示不同的复合函数。 2．求有关复合函数的定义域 ① 已知)(xf的定义域为)(ba,，求))((xgf的定义域的方法： 已知)(xf的定义域为)(ba,，求))((xgf的定义域。实际上是已知中间变量的u 的取值范围，即)(bau,，)()(baxg,。通过解不等式bxga)(求得 x 的范围，即为))((xgf的定义域。 ② 已知))((xgf的定义域为)(ba，，求)(xf的定义域的方法： 若已知))((xgf的定义域为 )(ba，，求)(xf的定义域。实际上是已知直接变量x的取值范围，即)(bax，。先利用bxa求得)(xg的范围，则)(xg的范围即是)(xf的定义域。 3．求有关复合函数的解析式 ①已知)(xf求复合函数 )]([xgf的解析式，直接把)(xf中的x换成)(xg即可。 ②已知 )]([xgf求)(xf的常用方法有：配凑法和换元法。 配凑法：就是在)]([xgf中把关于变量x的表达式先凑成)(xg整体的表达式，再直接把)(xg换 成x而得)(xf。 换元法：就是先设txg)(，从中解出 x（即用t 表示x），再把 x（关于t 的式子）直接代入)]([xgf中消去x得到)(tf，最后把)(tf中的t 直接换成x即得)(xf。 2 4.求复合函数的单调性 若 )(xgu )(xfy 则)]([xgfy 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 减函数 即“同增异减”法则 5.复合函数的奇偶性 一偶则偶，同奇则奇 【例题讲解】 一、复合函数定义域解析式 例 1 设函数53)(,32)(xxgxxf，求))(()),((xfgxgf． 例 2 已知xxxf2)12(2 ，求)122(f 例 3 ①已知 ,1)(2 xxf求)1( xf； ②已知 1)1()1(2 xxf，求)(xf． 例 4 ⑴若函数)(xf的定义域是[0，1]，求)21(xf的定义域； ⑵若 )12(xf的定义域是[-1，1]，求函数)(xf的定义域； ⑶已知)3( xf定义域是5,4，...
