§1-5 多项式的因式分解定理 多项式44 x在有理数域、实数域、复数域上的因式分解 ][)2)(2)(2)(2(4][)2)(2)(2(4][)2)(2(4424224xCixixxxxxRxxxxxQxxx（不能再分）（不能再分） 在不同的系数域上，具有不同形式的分解式 什么叫不能再分？ 平凡因式： 零次多项式（不等于零的常数）、多项式自身、前两个的乘积 Definition8：（不可约多项式）令][)(xPxf是的一个次数大于零的多项式，如果][)(xPxf在中只有平凡因式，就称 f(x )为数域P 上（或在P[x ]中）的不可约多项式。（p(x )在数域P上不能表示成两个次数低的多项式的乘积） 若)(xf除平凡因式外，在P[x ]中还有其它因式，f(x )就说是在数域P 上（或在P[x ]中）是可约的。 如果不是平凡因式)(,)()()(xgxhxgxf， 的次数显然和则)()(xhxg都小于)(xf的次数。 反之，若)(xf能写成两个这样多项式的乘积，那么)(xf有引入课题 初等数学中的因式分解, 何为不能再分? 非平凡因式；如果P[x]的一个n 次多项式能够分解成P[x]中两个次数都 小于n 的多项式 的乘积和)()(xhxg 即 )()()(xhxgxf 那么)(xf在P 上可约。 由不可约多项式的定义可知： 任何一次多项式都是不可约多项式的。 不可约多项式的重要性质： 一个多项式是否不可约是依赖于系数域； 1.如果多项式)(xf不可约，那么P 中任意不为零的元素 c与)(xf的乘积c)(xf都不可约。 2.设)(xf是一个不可约多项式而 P(x)是一个任意多项式，那么或者)(xf与 P(x)互素，或者)(xf整除 P(x). 3.如果多项式)(xf与)(xg的乘积能被不可约多项式P(x)整除，那么至少有一个因式被 P(x)整除。 Theorem5.如果)(xp是一个不可约多项式,P(x)整除一些多项式)(,),(),(21xfxfxfs的乘积,那么)(xp一定整除这些多项式之中的一个. 证明:对被除多项式的个数s 用数学归纳法 当 s=1 时,显然成立; 假设s=n-1 时,结论成立; 当s=n 时,令)()()()(),()(32211xfxfxfxgxfxgn, 如果)(|)(),(|)(11xfxpxgxp则命题成立, 如果1))(),((),(|)(11xgxpxgxp则, 从而)(|)(2 xgxp, 即)(,),(),()(32xfxfxfxpn整除 n-1 多项式的乘积,由归纳法假设)(xp整除其中一个多项式,根据数学归纳法原理,命题得证. 因式分解及唯一性定理：多项式环P[x]的每一个)0(nn次多项式)(xf都可以唯一分解成P[x]的不可约多项式的乘积； )()()()(21xpxpxpxfs 所谓唯一性是说，如果有两个分解式 )()()()()()()(2121...
