常微分方程解法小结VIP专享VIP免费

第六章 常微分方程数值解法 ．143． 第六章 常微分方程数值解 一、基本内容提要 1 . Euler 方法 Eu ler 方法的 基 本 思 路 是 用 差 商 近 似 导 数， 即 在 等 距 节 点nhxxn+=0 ),,2,1,0(NnL=上，用向前差商hxyxynn)()(1 −+代替)(nxy′，然后代入微分方程 ⎪⎩⎪⎨⎧== )(),(00yxyyxfdxdy 则得 ))(,()()(1nnnnxyxfhxyxy≈−+ ),1,0(L=n 化简得 ))(,()()(1nnnnxyxhfxyxy+≈+ 用ny 近似代替)(nxy，所得结果作为)(1+nxy的近似值，记为1+ny，则有 ),(1nnnnyxhfyy+≈+ 按此式由初值0y 逐次计算12,,Ly y的方法即为 Eu ler 方法，上式被称为 Euler 公式。 2. 截断误差 假设)(nnxyy =是精确的，误差111)(+++−=nnnyxyR被称为局部截断误差，又简称截断误差。 3. p 阶方法 如果某种数值方法的局部截断误差为1()+pO h，则称该方法是 p 阶方法或具有 p 阶精度。 4. 梯形公式 ．144 ． 实用数值分析解题指导 对初值问题⎪⎩⎪⎨⎧== )(),(00yxyyxfdxdy的方程两端积分可得 dxxyxfxyxynnxxnn))(,()()(11∫+=−+ ),1,0(L=n 用梯形公式计算右端积分，即有 ))](,())(,([2))(,(111+++≈∫+nnnnxxxyxfxyxfhdxxyxfnn 用1,+nn yy代替)(),(1+nnxyxy，所得计算公式 )],(),([2111+++++=nnnnnnyxfyxfhyy 即为求解常微分方程初值问题的梯形公式。 5. 改进的Eu ler 法 用Eu ler 公式求1+ny的一个初步近似值1+ny作为预测值，再用梯形公式校正求近似值1+ny，即 ⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++ )],(),([2 ),(1111nnnnnnnnnnyxfyxfhyyyxhfyy 校正预测 上式称为由 Eu ler 公式和梯形公式得到的预测－校正(Predictor-Corrector)系统，又叫改进的Eu ler 法。 6. R-K 方法的构造 一般地，设近似公式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++==+=∑∑−==+ ),,3,2( ),( ),( 11111piKbhyhaxfKyxfKKchyyijjijnininnpiiinn 称为p 阶显式Ru nge-Ku tta 方法，简称 R-K 方法。其中iijicba,,都是参数，确定它们的原则是使近似公式在),(nn yx处的Tay lor 展开式与)(xy在nx 处的Tay lor 展开式的前面的 第六章 常微分方程数值解法 ．145． 项尽可能多地重合，使近似公式有尽可能高的精度。 7. 阿达姆斯（Adams）公式 对 R-K 方法取r ＝3，并令01321====−βααα，由方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==−+−=∑∑∑=−=−=3131130)4,3,2,1( 1)1()( 1iiikikiikkiβαα 可解得 249,2437,2459,24...