常微分方程试卷及答案VIP专享VIP免费

1 2010-2011 学年第 二 学期常微分方程考试 AB 卷答案 理学 院 年级 信息与计算科学 专业 填空题（每题4 分，共20 分） 1. 形如)()('xQyxPy （)(),(xQxP连续）的方程是 一阶线性微分 方程，它的通解为cdxdxxPexQdxxPey)()()( . 2. 形如 0yy的方程是 3 阶__齐次__(“齐次”还是”非齐次”)___常__系数的微分方程,它的特征方程为310  . 3. 形如1111110nnnnnnnnd ydydyxa xaxa ydxdxdx的方程为 欧拉 方程, 可通过变换txe把它转化成常系数方程. 4. 2(1)0,y dxxdy 满足初始条件： x =0, y =1 的特解11ln 1yx  5．5.微分方程0000( , ),(),:,dyf x yy xy Rxxa yybdx 满足的解存在且唯一的条件是: ( , )f x y 在 R 上连续且满足利普希茨条件 一、下列微分方程的解（每题5 分，共30 分） 1． dxdy =2)(1yx  解：令 x+y=u,则 dxdy = dxdu -1 ……………………….3 dxdu -1=21u u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. ……………………….5 2． 053243xdyydxyxdyydxx 解：两边同乘以yx2得： 2   05324352423y dyxdxyxy dyxdxyx ……………………….3   05324yxdyxd 故方程的通解为：cyxyx5324 ……………………….5 3．2dxdyyx 解：令pdxdy ，则2pxy， 两边对x 求导，得dxdppp21 ppdxdp21， ……………………….3 解之得 cppx21ln2， 所以cpppy221ln2， ……………………… .4 且y =x +1 也是方程的解，但不是奇解. ……………………….5 4. 04)5( xx 解：特征方程0435  有三重根0，42，52  ……………………….3 故通解为54232221ctctcececxtt ……………………….5 5. 4523xxxt 解：特征方程32450有根10,231,5  齐线性方程的通解为x=5123ttc ec ec t  ……………………… .3 又因为0 是特征根，故可以取特解行如2xAtBt代入原方程解得A= 1425 ，B=25 ……………………….4 3 故通解为x =5212325ttc ec ec tt  ……………………….5 6. 2ln0,x yyy初值条件:y(1)=e 解:...