常微分方程课后答案(第三版)VIP专享VIP免费

习题1.2 1．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1 的特解。。 解：ydy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2 +c y=e2x +e c =cex 2另外 y=0 也是原方程的解，c=0 时，y=0 原方程的通解为 y= cex 2 ,x=0 y=1 时 c=1 特解为 y= e2x . 2. y 2 dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解。 解：y 2 dx=-(x+1)dy 2ydy dy=-11xdx 两边积分: -y1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln1xc 另外 y=0,x=-1 也是原方程的解 x=0,y=1 时 c=e 特解：y=|)1(|ln1xc 3．dxdy =yxxyy321 解：原方程为：dxdy =yy 21 31xx  yy 21 dy=31xx dx 两边积分：x(1+x 2 )(1+y 2 )=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： yy1dy=-xx1dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0 也是原方程的解。 5．（y+x）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dxdy =-yxyx 令xy =u 则dxdy =u+xdxdu 代入有： -112 uudu=x1 dx ln(u 2 +1)x 2 =c-2arctgu 即 ln(y 2 +x 2 )=c-2arctg2xy . 6. xdxdy -y+22yx=0 解：原方程为： dxdy =xy +xx ||-2)(1xy 则令xy =u dxdy =u+ xdxdu 211u du=sgnx x1 dx arcsinxy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgydy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=xc cos1=xccos 另外 y=0 也是原方程的解，而 c=0 时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dxdy +yexy32 =0 解：原方程为：dxdy =ye y 2ex3 2 ex3 -3e2y=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dxdy =xy lnxy 令xy =u ,则dxdy =u+ xdxdu u+ xdxdu =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy =cy. 10. dxdy =eyx 解：原方程为：dxdy =e x ey e y =ce x 11 dxdy =(x+y) 2 解：令x+y=u,则dxdy =dxdu -1 dxdu -1=u 2 211udu=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c 12. dxdy =2)(1yx  解：令x+y=u,则dxdy =dxdu -1 dxdu -1=21u u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13. dxdy =1212yxyx 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2 -y)-dx 2 +x=c xy-y 2 +y-x 2 -x=c 14: dxdy =25yxyx 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dx y -d(21 y 2 +2y )-d(21 x 2 +5x...