武夷学院数学与计算机系 《数学分析》(1, 2, 3) 授课教案 1-1 第一章 变量与函数 § 1 函数的概念 一 变量 变量、常量、实数性质、区间表示 二 函数 １．定义１ 设,X YR，如果存在对应法则f ，使对xX ，存在唯一的一个数yY与之对应，则称f 是定义在数集X 上的函数，记作:fXY(|xy).也记作|( )xf x。习惯上称x 自变量，y 为因变量。函数f 在点x 的函数值，记为( )f x ，全体函数值的集合称为函数f 的值域，记作()f X. ()|( ),f Xy yf x xX。 ２．注 （1） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。 例：1）( )1,,f xxR ( )1,\ 0 .g xxR（不相同，对应法则相同，定义域不同） 2）( ) | |,,xx xR 2( ),.xxxR（相同，对应法则的表达形式不同）。 （2）函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对应法则f 来表示一个函数。即“函数( )yf x”或“函数f ”。 （3）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于aD，( )f a 称为映射 f 下a 的象。a 称为( )f a 的原象。 3 . 函数的表示方法 1 主要方法：解析法（分式法）、列表法和图象法。 2 可用“特殊方法”来表示的函数。 分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。 例： 1,0sgn0,01,0xxxx，（符号函数） 用语言叙述的函数。 例：１）[ ]yx（x 的最大整数部分） ２）1,( )0,xD xx 当 为有理数,当 为无理数,（Ｄirichlet） 三 函数的一些几何特性 1 、单调函数 定义2 设f 为定义在X 上的函数，1212,,,x xX xx （１）若12()()f xf x，则称f 为X 上的增函数；若12()()f xf x，则称f 为X 上的严格增函数。（２）若 武 夷 学 院 数 学 与 计 算 机 系 《 数 学 分 析 》 (1, 2, 3) 授 课 教 案 1-2 12()()f xf x， 则 称 f 为 X 上 的 减函数； 若12()()f xf x， 则 称 f 为 X 上 的 严格减函数。 例 ： 证 明 ：3yx在 (,) 上 是 严 格 增 函 数 。 例 ： 讨 论 函 数[ ]yx在 Ｒ 上 的 单 调 性 。 注 ： 单 调 性 与 所 讨 论 的 区 间 有 关 ， 区 间 必 须 关 于 原 点 对 称 。 2 、 奇 函 数 和 偶 函 数 定 义 3 设 X 为 ...
