第一篇 分析基础 1 .1 收敛序列 （收敛序列的定义） 定义：设}{nx是实数序列，a 是实数，如果对任意0都存在自然数N ，使得只要Nn ，就有 axn 那么}{nx收敛，且以a 为极限，称为序列}{nx收敛收敛于a ，记为 axn lim或者)(naxn 定理1 ：如果序列}{nx有极限，那么它的极限是唯一的。 定理2 （夹逼原理）：设}{nx，}{ny和}{nz都是实数序列，满足条件 Nnzyxnnn, 如果azxnn limlim，那么}{ny也是收敛序列，且有 ayn lim 定理3 ：设}{nx是实数序列，a 是实数，则以下三陈述等价 （1） 序列}{nx以a 为极限； （2） {}nxa是无穷小序列； （3） 存在无穷小序列{ }na使得 ,1,2,.nnxaan （收敛序列性质） 定理4 ：收敛序列}{nx是有界的。 定理5 ： （1）设axn lim，则axn lim。 （2）设axn lim，byn lim，则bayxnn)lim(。 （3）设axn lim，byn lim，则abyxnn)lim(。 （4）设0nx，0lim axn，则axn11lim。 （5）设0nx，0lim axn，byn lim，则limlimlimnnnnyybxxa。 （收敛序列与不等式） 定理 6 ：如果limlimnnxy，那么存在0NN，使得0nN时有 nnxy 定理 7 ：如果}{nx和{ }ny都是收敛序列，且满足 0,,nnxynN 那么 limlimnnxy 1 .2 收敛原理 （单调序列定义） 定义：（１）若实数序列}{nx满足 1 ,,nnxxnN 则称}{nx是递增的或者单调上升的，记为 {}.nx （２）若实数序列{}ny满足 1 ,,nnyynN 则称{}ny是递减的或者单调下降的，记为 {}ny （３）单调上升的序列和单调下降的序列统称为单调序列。 定理１：递增序列}{nx收敛的充分必要条件是它有上界，其上确界记为sup{}nx。 定理1 推论：递减序列{}ny收敛的充分必要条件是它有下界，其下确界记为inf{}nx。 扩展：因为一个序列的收敛性及其极限值都只与这序列的尾部（即从某一项之后的项）有关，所以定理1 和它的推论中单调性条件可以虚弱为“从某一项之后单调”，即为 10,,nnxxnN 及 10,,nnyynN （自然对数的底 e ） 自然对数的底e 通过下面这个式子求得 1lim 1nnen 我们先来证明序列11nnxn是收敛的。 （1）序列11nnxn是单调上升的。 11111211 1(1)(1)(1)2!3!1121(1)(1)(1)!1121(1)(1)(1)!nnxnnnnk...
