数学分析课本(华师大三版)习题及答案第十七章VIP专享VIP免费

第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学 一、证明题 1. 证明函数 0yx0,0yx,yxyxy )f(x ,2222222 在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微. 2. 证明函数 0y x0,0y x,yx1)siny(xy )f(x ,22222222 在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而f 在原点(0,0)可微. 3. 证明: 若二元函数f 在点p(x 0,y 0)的某邻域U(p)内的偏导函数fx 与fy 有界,则f 在U(p)内连续. 4. 试证在原点(0,0)的充分小邻域内有 xy1yxarctg ≈x +y . 5. 试证: (1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和; (2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和. 6.设Z= 22yxfy,其中f 为可微函数,验证 x1xZ+ y1yZ=2yZ. 7.设Z=sin y +f(sin x -sin y ),其中f 为可微函数,证明: xZ sec x + yZsecy =1. 8.设f(x ,y )可微,证明:在坐标旋转变换 x =u cosθ-v sinθ, y =u sinθ+v cosθ 之下. 2xf+ 2yf是一个形式不变量,即若 g(u ,v )=f(u cosθ-v sinθ,u sinθ+v cosθ). 则必有 2xf+ 2yf= 2ug+ 2vg.(其中旋转角θ是常数) 9.设f(u )是可微函数, F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t), 试求:Fx(0,0)与Fg(0,0) 10..若函数u=F(x,y,z)满足恒等式 F(tx,ty,tZ)=tk(x,y,z)(t>0) 则称F(x,y,x)为K 次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F(x,y,z)为K 次齐次函数的充要条件是: z,y,xxFx+z,y,xyFy+z,y,xZFx=KF(x,y,z). 并证明:Z=xyyxxy222为二次齐次函数. 11..设f(x,y,z)具有性质fZt,yt,txmk=ft n(x,y,z)(t>0) 证明: (1) f(x,y,z)=mknxZ,xy,1fx; (2) z,y,xxf x+z,y,xkyfy+z,y,xmzfz=nf(x,y,z). 12.设由行列式表示的函数 D(t)=         ta ta ta ta ta tata ta tannn21n2n22211n1211 其中 taij(i,j=1,2,…,n)的导数都存在,证明  dttdD=n1k         ta ta ta ta ta ta ta ta tannn21nknk21k1n1211 13.证明...