数学建模习题答案VIP免费

数 学 建 模 部 分 课 后 习 题 解 答 中 国 地 质 大 学 能 源 学 院 华 文 静 1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？ 解： 模型假设 （1） 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形 （2） 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即从数学角度来看，地面是连续曲面。这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件 （3） 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。为了保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。因为在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的。 模型建立 在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也 就 是数学上所 说 的平移 与旋 转变换 。然 而，平移 椅子后 问题的条件没有发 生本 质 变化，所 以 用 平移 的办法是不能解决问题的。于是可 尝 试 将 椅子就 地旋 转，并 试 图 在旋 转过程 中找 到 一种椅子能放稳的情形。 注 意 到 椅脚连线呈长方形，长方形是中心 对称 图 形，绕 它 的对称 中心 旋 转180 度后 ，椅子仍 在原 地。把长方形绕 它 的对称 中心 旋 转，这可 以 表示椅子位置的改 变。于是，旋 转角度 这一变量就 表示了椅子的位置。为此，在平面上建 立 直 角坐 标 系 来解决问题。 设椅脚连线为长方形ABCD,以 对角线AC 所 在的直 线为x 轴 ，对称 中心 O 为原 点，建 立 平面直 角坐 标 系 。椅子绕O 点沿逆 时针 方向旋 转角度 后 ，长方形ABCD 转至A1B1C1D1 的位置，这样就 可 以 用 旋 转角）0（表示出椅子绕 点O 旋 转 后 的位置。 其 次 ，把椅脚是否 着地用 数学形式 表示出来。当椅脚与地面的竖 直 距离 为零 时，椅脚就 着地了，而当这个距离 大于零 时，椅脚不着地。由 于椅子在不同的位置是 的函数，因此，椅脚与地面的竖 直 距离 也 是 的函 数。 由 于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖 直 距离 有四个，它 们都是 的函 数，而由假设（3）可 知 ...