数学思维——严密性VIP免费

2005 年高考数学总复习解题思维专题讲座之三 数学思维的严密性 一、概述 在中学数学中，思维的严密性表现为思维过程服从于严格的逻辑规则，考察问题时严格、准确，进行运算和推理时精确无误。数学是一门具有高度抽象性和精密逻辑性的科学，论证的严密性是数学的根本特点之一。但是，由于认知水平和心里特征等因素的影响，中学生的思维过程常常出现不严密现象，主要表现在以下几个方面： 概念模糊 概念是数学理论体系中十分重要的组成部分。它是构成判断、推理的要素。因此必须弄清概念，搞清概念的内涵和外延，为判断和推理奠定基础。概念不清就容易陷入思维混乱，产生错误。 判断错误 判断是对思维对象的性质、关系、状态、存在等情况有所断定的一种思维形式。数学中的判断通常称为命题。在数学中，如果概念不清，很容易导致判断错误。例如，“函数xy)31(是一个减函数”就是一个错误判断。 推理错误 推理是运用已知判断推导出新的判断的思维形式。它是判断和判断的联合。任何一个论证都是由推理来实现的，推理出错，说明思维不严密。 例如，解不等式.1xx  解 ,1,12 xxx ,1 x 或 .1x这个推理是错误的。在由xx1推导12 x时，没有讨论 x 的正、负，理由不充分，所以出错。 二、思维训练实例 思维的严密性是学好数学的关键之一。训练的有效途径之一是查错。 (1) 有关概念的训练 概念是抽象思维的基础，数学推理离不开概念。“正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。”《中学数学教学大纲》（试行草案） 例1、 不等式 ).23(lo g)423(lo g2)2(2)2(22xxxxxx 错误解法 ,122x ,2342322xxxx .223,0622xxxx或 错误分析 当2x时，真数0232xx且2x在所求的范围内（因 232 ），说明解法错误。原因是没有弄清对数定义。此题忽视了“对数的真数大于零”这一条件造成解法错误，表现出思维的不严密性。 正确解法 122x 2342302304232222xxxxxxxx 2231231313131xxxxxx或或或 .22xx或 例2、 求过点)1,0(的直线，使它与抛物线 xy22 仅有一个交点。 错误解法 设所求的过点)1,0(的直线为1 kxy，则它与抛物线的交点为 xykxy212，消去y得：.02)1(2xkx 整理得 .01)22(22xkxk 直线与抛物线仅有...