雅QQ1240008362 1 数学恒成立问题解法小结 北海七中 林秀雅 函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点.函数类问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的应用.恒成立问题，在高中数学中较为常见.这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用. 恒成立问题在解题过程中有以下几种策略：①赋值型；②一次函数型；③二次函数型；④变量分离型；⑤数形结合型. 题型一、赋值型——利用特殊值求解 等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得. 例 1．由等式 x 4+a1x 3+a2x 2+a3x+a4= (x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 定义映射 f：(a1,a2,a3,a4)→b1+b2+b3+b4,则 f：(4,3,2,1) → ( ) A.10 B.7 C.-1 D.0 略解：取 x=0，则 a4=1+b1+b2+b3+b4,又 a4=1,所以b1+b2+b3+b4 =0 ，故选 D 例 2 ．如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=8 对称，那么 a=（ ）. A.1 B.-1 C .2 D. -2 .略解：取 x=0 及x=4，则f(0)=f(4),即 a=-1，故选 B. 此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想. 题型二、一次函数型——利用单调性求解 给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若 y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（线段）（如下图） 可得上述结论等价于 ⅰ）0)(0mfa，或 ⅱ）0)(0nfa 可合并定成0)(0)(nfmf 雅QQ1240008362 2 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有0)(0)(nfmf 例3 ．对于满足|a|2 的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x 恒成立的x 的取值范围. 分析：在不等式中出现了两个字母：x 及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a 的一次函数大于0 恒成立的问题. 解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0 在|a|2 时恒成立, 设f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有： )2(0)2(ff即0103422xxx解得：1113xxxx或或 ∴x<-1 或x>3. 即x∈(－∞,－1)∪(3,+∞) 此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需保证该线...
