精品文档。1欢迎下载二1 求 A 的 LU 分解，并利用分解结果求解由紧凑格式故从而故2 求证：非奇异矩阵不一定有LU分解证明设非奇异， 要说明 A不一定能做LU分解， 只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然 A 为非奇异矩阵。若A 有 LU 分解，则故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A 不能做 LU 分解，故只假定A非 奇 异 并 不 能 保 证A 能 做LU 分 解 ， 只 有 在A的 前阶 顺 序 主 子 式时才能保证A 一定有 LU 分解。精品文档。2欢迎下载3 用追赶法求解如下的三对角方程组解设有分解由公式其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有从而有故，，，故，，，精品文档。3欢迎下载4 设 A 是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数证明 （1）因 A 正定对称， 故当时，，而当时，（2）对任何实数，有（3）因 A正定，故有分解，则故对任意向量和，总有综上可知，是一种向量范数。5 设，，已知方程组的精确解为（1）计算条件数；（2）若近似解，计算剩余；（3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1）（2）（3）由事后误差估计式，右端为而左端精品文档。4欢迎下载这表明当 A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A 病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。6 矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值证明设，则又故从而当时，即时，有最小值，且7 讨论用雅可比法和高斯- 赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方法收敛较快，其中解对雅可比方法，迭代矩阵，故雅可比法收敛。对高斯 - 赛德尔法，迭代矩阵精品文档。5欢迎下载，故高斯 - 赛德尔法收敛。因=故高斯 - 赛德尔法较雅可比法收敛快。8 设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯- 赛德尔迭代法收敛的充要条件。解雅可比法的迭代矩阵，故雅可比法收敛的充要条件是。高斯 - 赛德尔法的迭代矩阵，精品文档。6欢迎下载故高斯 - 赛德尔法收敛的充要条件是。9 设求解方程组的雅可比迭代格式为，其中，求证：若，则相应的高斯- 赛德尔法收敛。证明由于是雅可比法的迭代矩阵，故又，故，即，故故系数矩阵A 按行严格对角占优，从而高斯 - 赛德尔法收敛。10 设 A 为对称正定矩阵，考虑迭代格式求证：（ 1）对任意初始向量，收敛；（2）收敛到的解。证明（1）所给格式可化为这里存在是因为，由A 对称正定，，故也...
