0 / 9 求不定积分222222sincoscos2coscos2sincos2 sin2 sincos2 sin2cosxxdxx dxxxxxdxxxxdxxxxxxdxxxxxxc求不定积分方法：（1）两类换元法；（2）分部积分法 (重点 )；排序：与 dx 凑的依次为指数和三角，多项式适用类型：被积函数含有两种不同函数类型，或含有对数或或反三角函数求极限三种类型（I ）变上限积分函数类型求极限（II ）定积分的定义（数项级数转化为定积分求解）III ）利用级数收敛性求极限（级数收敛则通项为0）2222006500222005300222200(tan)2tantanlimlim6tantanlimlim33tan1limlim999xxxxxxxxxxt dtxt dtxxxt dtt dtxxxxxx变上限积分函数极限的解题思路：0 比 0 型或无穷比无穷采用洛必达法则（一般是用两次）；注意（ 1）( )( )(( ))'( ( )) '( )( ( )) '( )u xv xf t dtf u x u xf v x v x（ 2） 变上限积分函数不能用变量替换或等价量替换；其它正常函数可以采用等价量替换可减少计算量典型例题： p208 例 2 p209ex2 和课堂练习p225 例 1 ex4 2030sin2lim3xxtdtx1 / 9 求21( )(2)f xx在0x处的幂级数展开式 . 20111011111()'()'(2)22 121(() )'221()'22( 2,2)nnnnnnnnxxxxnxxx又级数111 2nnnn x的收敛域为 ( 2, 2) ，故12111( )( 2,2)(2)2nnnnf xxxx求函数在 xa 处的幂级数展开式 . 解题思路：适当变型，凑成含有()xa ；常数归一后用等比数列求和；求出相应的收敛域；典型例题： 求21( )32f xxx在0(x或x=4) 处的幂级数展开式 . P61 例 8 P63-63 ex2 （ 2,6） ex3（2）基本结论：基本初等函数的1,sin,cos,ln(1),1xexxxx的幂级数展开式求曲线2xxeey从0x到1x那一段的弧长 .解：由于'2xxeey，则弧长2 / 9 101122001101'1()2()222xxxxxxeesy dxdxeeeeeedx解题思路：熟记求弧长的三个公式，小心计算；记住若干函数的原函数；记住求旋转体的体积公式。典型例题：三．讨论敛散性（包括绝对收敛、条件收敛、发散）1. 0 1pxdxx解：1001111pppxxxdxdxdxxxx，(1)分（I ）对10 1pxdxx，（1）当0p，10 1pxdxx为定积分 .(1)分当0p时，0x是瑕点，由于001limlim111ppxxxxxx，则(1)分（注：101pxdxx和10px dx 有相同的收敛性。）（2）当10p，即 01p时，101pxdxx绝对收敛 .(1)分（3）当1p，即1p时，110011ppxxdxdxxx发散 .(1)分3 / 9 （II ）对11pxdxx，由于1limlim111ppxxxxxxx，（4）当0p，即11p时，11pxdxx绝对收敛 .(...
