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1 1．设等差数列 {a n} 的前 n 项和为 Sn，且 S4=4S2，a2n=2an+1．（1）求数列 {a n} 的通项公式；（2）设数列 {b n} 的前 n 项和为 T n 且（λ 为常数）．令 cn=b 2n（ n∈N*）求数列{c n} 的前 n 项和 Rn．【解答】 解：（1）设等差数列 {a n}的首项为 a1，公差为 d，由 a2n=2an+1，取 n=1，得 a2=2a1+1，即 a1﹣d+1=0①再由 S4=4S2，得，即 d=2a1②联立 ① 、② 得 a1=1， d=2．所以 an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣ 1）=2n﹣1；（2）把 an=2n﹣1 代入，得，则．所以 b1=T1=λ﹣1，当 n≥2 时，=．所以，．Rn=c1+c2+⋯+cn=③④③ ﹣④ 得：=所以；所以数列 {c n} 的前 n 项和．2．等差数列 {a n} 中， a2=4，a4+a7=15．（Ⅰ ）求数列 {a n}的通项公式；（Ⅱ ）设 bn=2+n，求 b1+b2+b3+⋯+b10 的值．【解答】 解：（Ⅰ）设公差为d，则，2 解得，所以 an=3+（n﹣ 1）=n+2；（Ⅱ ）bn=2+n=2n+n，所以 b1+b2+b3+⋯+b10=（ 2+1）+（22+2） +⋯+（210+10）=（2+22+⋯+210）+（1+2+⋯+10）=+=2101．3．已知数列 {log 2（an﹣1）} （n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9．（Ⅰ ）求数列 {a n}的通项公式；（Ⅱ ）证明++⋯+＜1．【解答】（I）解：设等差数列{log 2（an﹣1）} 的公差为 d．由 a1=3，a3=9 得 2（log22+d）=log 22+log 28，即 d=1．所以 log2（an﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，即 an=2n+1．（II ）证明：因为==，所以++⋯+=+++⋯+==1﹣＜1，即得证．4．已知 {an} 是正数组成的数列，a1=1，且点（，an+1）（ n∈N*）在函数 y=x 2+1 的图象上．（Ⅰ ）求数列 {a n}的通项公式；（Ⅱ ）若列数 {b n}满足 b1=1，bn+1=bn+2an，求证： bn?bn+2＜bn+12．【解答】 解：解法一：（Ⅰ ）由已知得an+1=an+1、即 an+1﹣an=1，又 a1=1，所以数列 {an} 是以 1 为首项，公差为1 的等差数列．故 an=1+（n﹣1）×1=n．（Ⅱ ）由（ Ⅰ）知： an=n 从而 bn+1﹣bn=2n．bn=（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣ bn﹣2）+⋯+（b2﹣b1）+b 1=2n﹣1+2n﹣2+⋯+2+1 =3 bn?bn+2﹣bn+12=（2n﹣1）（2n+2﹣1）﹣（ 2n+1﹣1）2=（22n+2﹣ 2n﹣2n+2+1）﹣（ 22n+2﹣2?2n+1+1）=﹣2n＜0 ∴bn?bn+2＜bn+12解法二：（Ⅰ ）同解法一．（Ⅱ ） b2=1 bn?bn+2﹣bn+12=（bn+1﹣2n）（bn+1+2n+1）﹣ bn+12=2n+1?bn+1﹣2n?bn+1﹣2n?2n+1=2n（bn+1﹣2n+1）=2n（bn+...