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1 / 23 2 微分方程实验1、微分方程稳定性分析根据微分方程稳定性理论， 确定下列资质系统的平衡点， 并说明那些点是稳定的，哪 些 点 是 不 稳 定 ， 绘 出 相 应 的 轨 线 ， 标 出 随t 郑 家 的 运 动 方 向 。,,,+1,(1)(2)(3)(4);2 ;2 ;2 .dxdxdxdxxxyxdtdtdtdtdydydydyyyxydtdtdtdt解：（1）由 f（x）=x=0，f（y）=y=0；可得平衡点为（ 0,0），系数矩阵1001A，求得特征值 λ 1=1，λ 2=1；p=-( λ 1+λ 2)=-2<0 ，q=λ 1λ 2=1>0；对照稳定性的情况表， 可知平衡点 （0，0）是不稳定的。图形如下：（2）如上题可求得平衡点为（0,0 ），特征值 λ 1=- 1，λ 2=2；p=-( λ 1+λ 2)=-1<0 ，q=λ 1λ 2=-2<0；对照稳定性的情况表， 可知平衡点（0，0）是不稳定的。其图形如下：2 / 23 （3）如上题可求得平衡点为（0,0 ），特征值 λ 1=0 + 1.4142i，λ 2=0 - 1.4142i；p=-( λ 1+λ 2)= 0，q=λ 1λ 2=1.4142>0；对照稳定性的情况表， 可知平衡点 （0，0）是不稳定的。其图形如下：（4）如上题可求得平衡点为（1,0 ），特征值 λ 1=- 1，λ 2=- 2；p=-( λ 1+λ 2)= 3>0，q=λ 1λ 2=2>0；对照稳定性的情况表， 可知平衡点 （1，0）是稳定的。3 / 23 其图形如下：2、种群增长模型一个片子上的一群病菌趋向于繁殖成一个圆菌落. 设病菌的数目为N，单位成员的增长率为 r1 ，则由 Malthus 生长律有1dNrNdt，但是，处于周界表面的那些病菌由于寒冷而受到损伤， 它们死亡的数量与 N1/2 成比例，其比例系数为 r2 ，求 N满足的微分方程 . 不用求解， 图示其解族 . 方程是否有平衡解， 如果有， 是否为稳定的 ? 解：由题意很容易列出N满足的微分方程：1212()dNr Nr Nf Ndt令()f N =0，可求得方程的两个平衡点N1=0,N2=2221/rr进而求得11222121221() ()2d Nrr Nr Nr Ndt令220d Ndt可求得 N=2221/ 4rr则 N=N1，N=N2，N=2221/ 4rr 可以把第一象限划为三部分，且从下到上三部分中分别有0,dNdt220,d Ndt；0,dNdt220d Ndt；0,dNdt220d Ndt。4 / 23 则可以画出 N（t ）的图形，即微分方程的解族，如下图所示：由图形也可以看出，对于方程的两个平衡点，其中N1=0 是不稳定的； N2=2221/rr 是稳定的。3、有限资源竞争模型1926 年 Volterra提出了两个物种为共同的、有限的食物来源而竞争的模型5 / 23 111112212...