1 思想方法系列二极限 ·连续 ·可导辨析在高中数学第三册（选修 II ）第三章导数与微分的学习过程中，不少同学对极限、连续、 可导、最值等概念混淆不清，下面举例谈一谈这些概念间的区别与联系，以期对同学们的学习有所帮助。1. )(与)(lim00xfxfxx（ 1）0xx是指 x 从点 x0 左侧（ xx 0）无限趋近于x0。而 x→x 0 是指 x 可以用任何方式无限趋近于x0，即可以从点x0 的左侧无限趋近于x0,也可以从点x0 右侧无限趋近于x0，还可以从点x0的两侧交错地无限趋近于x0 等等，且有如下充要条件：a.xfxfaxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000(2) )(lim0xfxx存在与 f(x) 在 x0 处是否有定义无关，x→x 0 是 x 取值无限地趋近于x0，不一定取到 x0。例 1 （1）设),0(1),0()(2xxxxxf讨论 f(x)在点 x=0 的极限；（ 2）已知22)(2xxxxf,求)(lim2xfx；（ 3）设),0(1),0(0),0(1)(xxxxxxf求)(lim0xfx与 f(0). 解（1）,1)1(lim)(lim,0)(lim0020xxfxxfxxx∴f(x)在点 x=0 处无极限，即)(lim0xfx不存在（但f(0)=0, f(x) 在 x=0 处有定义）。.2lim2)2(lim)(lim)2(222xxxxxfxxx.0)0(,1)(lim,1)1(lim)(lim,1)1(lim)(lim)3(00000又fxfxxf又xxfxxxxx2.函数 f(x) 在点 x0处有极值与f(x)在点 x0 处连续（1）函数 f(x) 在点 x0 连续必须具备3 个条件：（i）f(x) 在点 x=x 0 有定义；（ii）f(x) 在点 x=x0 有极限；（iii）).()(lim00xfxfxx（2）极限是讨论函数在某一点附近变化的趋势，与函数在这点有无定义无关，但函数在某一点连续不仅要求该点有极限，而且要求函数在该点的极限值等于函数值（即函数在此点必须有定义）。例 2 图 1 中所表示的函数f(x)在 x=a 处是否连续。分析（1）f(x)在 x=a 处连续。（2）在 x=a 处无定义，∴不连续。（3）)()(limafxfax,∴不连续。（4）)(limxfax不存在，∴不连续。3.函数 f(x) 在点 x0处连续与f(x)在点 x0 处可导函数 f(x)在点 x0 处可导时必有点x0 连续；函数f(x)在点 x0 连续不一定在点x0可导，即可导必连续，连续不一定可导。例 3 已知函数f(x)在点 x0 可导，求证： f(x)在点 x0连续。证明 函数 f(x)在点 x0 可导，).()()(lim0000xfxxfxxfx而)]()()([lim)(lim)(lim0000000xfxfxxfxxfxfxxxx2 ),()(0)()(lim)()(lim)]()()([lim000000000000xfxfxfxfxxxfxxfxfxxxfxxfxxx∴函数 f(x) 在点 x...
