数学物理方程第三版答案第一章．波动方程§1 方程的导出。定解条件1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻 t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(txu满足方程xuExtuxt其中为杆的密度，E 为杨氏模量。证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为x 与 xx 。现在计算这段杆在时刻 t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两端的坐标分别为：),();,(txxuxxtxux其相对伸长等于),()],([)],([txxuxxtxuxtxxuxxx令0x，取极限得在点x 的相对伸长为xu),(tx。由虎克定律，张力),(txT等于),()(),(txuxEtxTx其中)(xE是在点 x 的杨氏模量。设杆的横截面面积为),(xS则作用在杆段),(xxx两端的力分别为xuxSxE)()(xuxxSxxEtx)()();,().,(txx于是得运动方程ttuxxsx)()(xESutx ),(xxxxxESuxx|)(|)(利用微分中值定理，消去x ，再令0x得ttuxsx)()(xxESu()若)(xs常量，则得22)(tux=))((xuxEx即得所证。2．在杆纵向振动时，假设(1) 端点固定， (2) 端点自由，(3) 端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。解： (1) 杆的两端被固定在lxx,0两点则相应的边界条件为.0),(,0),0(tlutu(2) 若lx为自由端，则杆在lx的张力xuxEtlT)(),(|lx等于零，因此相应的边界条件为xu |lx=0 同理，若0x为自由端，则相应的边界条件为xu ∣00x(3) 若lx端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数)(tv给出，则在lx端支承的伸长为)(),(tvtlu。由虎克定律有xuE∣)](),([tvtluklx其中 k 为支承的刚度系数。由此得边界条件)(uxu∣)(tflx其中Ek特别地，若支承固定于一定点上，则,0)(tv得边界条件)(uxu∣0lx。同理，若0x端固定在弹性支承上，则得边界条件xuE∣)](),0([0tvtukx即)(uxu∣).(0tfx3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为2222)1(])1[(tuhxxuhxxE其中 h 为圆锥的高 ( 如图 1)证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则 x点处截面的半径l 为：hxl1所以截面积2)1()(hxxs。利用第 1 题，得])1([)1()(2222xuhxExtuhxx若ExE)(为常量，则得2222)1(])1[(tuhxxuhxxE4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。解：如图 2，设弦长为 l ，弦的线密度为，则 x 点处的张力)( xT为)()(xlgxT且)(xT的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(txu表示弦上...
