26 第 二 章热 传 导 方 程§1 热传导方程及其定解问题的提1.一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律dsdtuukdQ)(11又假设杆的密度为，比热为 c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度),(txuu。记杆的截面面积42l为 S 。由假设，在任意时刻t 到tt内流入截面坐标为x 到xx一小段细杆的热量为txsxuktsxuktsxukdQxxxx221杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻t 到tt在截面为x 到xx一小段中产生的热量为txsuulktxluukdQ111124又在时刻 t 到tt在截面为 x 到xx这一小段内由于温度变化所需的热量为txstucxstxuttxucdQt,,3由热量守恒原理得：txsuulktxsxuktxstucxt11224消去txs，再令0x，0t得精确的关系：11224uulkxuktuc或11222112244uulckxuauulckxucktu其中cka 22.试直接推导扩散过程所满足的微分方程。解： 在扩散介质中任取一闭曲面s，其包围的区域为，则从时刻1t 到2t 流入此闭曲面的溶质，由dsdtnuDdM，其中 D 为扩散系数，得21ttsdsdtnuDM浓度由 u 变到2u 所需之溶质为2121121,,,,,,ttttdvdttuCdtdvtuCdxdydztzyxutzyxuCM两者应该相等，由奥、高公式得：21211ttttdvdttuCMdvdtzuDzyuDyxuDxM其中 C 叫做孔积系数 =孔隙体积。一般情形1C。由于21,,tt的任意性即得方程：zuDzyuDyxuDxtuC3. 砼(混凝土 )内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的水化热成正比。以tQ表示它在单位体积中所储的热量，0Q 为初始时刻所储的热量，则QdtdQ，其中为常数。又假设砼的比热为c ，密度为，热传导系数为k ，求它在浇后温度 u 满足的方程。解：可将水化热视为一热源。由QdtdQ及00QQ t得teQtQ0。由假设，放热速度为teQ0它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书71 页， (1.7)式得ckaecQzuyuxuatut2022222224. 设一均匀的导线处在周围为常数温度0u 的介质中，试证:在常电流作用下导线的温度满足微分方程2201224.0criuucPkxucktu其中 i 及 r 分别表示导体的电流强度及电阻系数，表示横截面的周长，表示横截面面积，而 k 表示导线对于介质的热交换系数。解：问题可视为有热源的杆的热传导问题。因此由原71 页(1.7)及(1.8)式知方程取形式为txfxuatu,222其中txFctxFtxfcka,,/,,,2为单位体积单位时间所产生的热量。由常电流 i 所...
