湘潭大学刘任任版离散数学课后习题答案习题17VIP专享VIP免费

6 第十七章（群） 1. 设 G 是群，Gba,.试证： aa11)( 111)( abab 证明：设e 是单位元（下同），直接根据定义即有：  a aeab b aa bbaae aaae1111111, ()()()(), 11111 (), ()aaabb a 2. 试举一个只有两元素的群。 解：设 G  { , } ,0 1 ，并且G的单位元为0,则可以确定乘法表中的三个元素，00=0； 01=1； 10=1；由群的定义，任意元素都有逆元，0的逆元为0， 1的逆元为1，因此11=0。因此乘法运算有如下表：  0 1 0 0 1 1 1 0 易知，单位元e  0，运算满足封闭性和结合律，且111 。 故 G是群。 3. 设}4,3,2,1{A的乘法表为 214344231313242341214321 问：A 是否成为群？若不是群，结合律是否成立？A 有无单位元? 解：如果A是一个群，则一定有单位元i，乘法表中第i行第i列元素保持不变，而定义的乘法表不满足此性质。因此A无单位元，故A不成群。且42 3423 41()(),无结合律。 4. 设 G 是群.试证：若对任何Gba,，均有555444333)(,)(,)(abbaabbaabba，则G 是交换群. 证明：利用消去律，将各等式降阶。  ( )a baba baba bba33322221()(),() 又  ( )a baba baba bba55544442()(),() 因此， (a bbababaa ba bab ab442422122222222( )( )()() ())()(), 于是， 得 a bb a2222, 再由(1)知，babababaab22222)(, 故有 abba. 5. 设 G 是群.试证：若对任何Ga ，有aa1，则G 是交换群。 证明：利用群的性质(3),(4),对任意a bG, ，有aba bbaba111()。故G 是交换群。 6. 设 G 是群，nnG,2||是正整数.试证：存在eaGa,，使eaa . 7 证明：任取xG。若xx1，则x 和 x 1在 G中成对出现。注意到群G 的元素个数为偶数，因此，在G中满足yy1即 yye的元素个数也是偶数。但e 满足ee2 . 故除e之外，至少还有一个aG, 使得 ae2 . 7. 试证：1阶群，2阶群，3阶群和4阶群都是交换群，并构造一个不是交换群的6阶群. 证明：设 1 至 4 阶群分别为 GeGe aGe a bGe a b c1234,,,,,,,,,, 1) 显然，G1是交换群。 2)  eaaeaG2 是交换群。 3) 对 G3，若aba，则有a abaa() ，即()aa baa, 从...