杆件结构有限元分析VIP免费

第三讲杆件结构有限元分析元计算技术部本讲通过对一维杆件进行理论分析和ELAB1.0有限元实现两种方式来介绍有限元的思想，并给出用有限元方法求解实际问题的流程：一维杆件有限元理论分析一维杆件ELAB软件实现基本方程基本方程的最终弱形式建立有限元模型确定杆单元的形函数确定单元刚度，总体刚度带入边界求解方程工程建模前处理求解计算及后处理杆件从构造上说是长度远大于其截面尺寸的一维构件。在结构力学中常常将承受轴力或扭矩的杆件统称为杆。根据桁架或者杆件承受的载荷不同，根据它们的变形不同可以将杆单元分为二维和三维桁架单元两种。承受轴向载荷等截面直杆的基本方程如下：0)(xfdxdAx0[()()]0lxdAfxudxdx其弱形式为：00llxjjjduAdxfxudxPudx基本方程一维杆件有限元理论分析根据虚功原理，方程两边乘以虚位移δu，平衡方程可以写为：其中，右端最后一项可以看作是节点力情况，所以可以不单独列出，同时xduEdx所以上式可以继续写为：00llduduAEdxfxudxdxdx其中E表示弹性模量，A表示横截面积，方程左端得到单元的刚度矩阵。基本方程的最终弱形式建立有限元模型现考虑一个由5个长度相同(le=1m)横截面积不同的杆件构成的一维杆件，各杆弹性模量都为E=1.0e10pa，A1=0.5m2，A2=0.4m2，A3=0.3m2，A4=0.2m2，A5=0.1m2，如图1所示，右端给定位移u右=0.1，左端固定位移u左，分析杆件内位移分布：几何模型将其划分为五个单元六个节点，即每根杆件作为一个单元，每个单元的节点关系如下图所示：单元拓扑关系确定杆单元的形函数考虑其中一个杆单元，其两个端点分别为节点1，节点2，基本变量为节点位移u1，u2:：设该单元的位移场为u(x)，这里要通过一个线性分布函数来进行插值以得到单元内的未知位移。定义一个局部坐标系ζ：1212()1xxxx由该式可得，在节点x1处，ζ=-1，在节点x2处，ζ=1，如下图所示局部坐标系：基于上坐标系来定义用于位移插值的形状函数：121()21()2NN确定了形状函数后，单元内的线性位移场就可以用节点位移u1，u2来表示：1122()uxNuNu通常来说形函数需满足以下条件：•在单元内，一阶导数必须存在；•在单元之间的连接处，位移必须连续；推导该问题的单元刚度矩阵表达式对于基本方程的最终弱形式：00llduduAEdxfxudxdxdx在一个单元内：1122()uxNuNu因此：11221212()dNuNudNdNduuudxdxdxdx由局部坐标系ζ，与整体坐标系的关系式及位移的插值函数可得：1121212221211211212112eedNdNddxddxxxxxldNdNddxddxxxxxl21elxx11212211eeudNdNduuuudxdxdxll11120121122111121111leeeeeeeeeelulduduAEdxuuAEdudxdxlllluuuAElulll由上面的关系式可得到：对δu取与u相同的形函数，并将上面的关系式带入基本方程的最终弱形式中可得：确定该问题每个单元的刚度矩阵2222111111111111eeeeeeeeeeeelllAEkAElAElllllll656(1)5111.0100.1111uuueKu545(2)4111.0100.2111uuueKu434(3)3111.0100.3111uuueKu323(4)2111.0100.4111uuueKu212(5)1111.0100.5111uuueKu将得到的各个单元刚度矩阵按节点编号进行组装，可以形成整体刚度矩阵，同时将所有节点荷载也进行组装。刚度矩阵：(1)(2)(3)(4)(5)KKKKKK节点位移：123456[]Tuuuuuuu对于本问题没有节点力即：[000000]Tf整体刚度方程为：1234561234560.50.500.50.50.40.400.40.40.30.301.0100.30.30.20.200.20.20.10.100.10.10uuuuuuuuueuuu...