解的存在唯一性定理VIP免费

解的存在唯一性定理和逐步逼近法内容提要一阶方程的初值问题利普希茨条件存在唯一性定理概念和定义定理1定理1的证明逐步逼近的思想定理2命题1命题2命题3命题4命题5一、概念与定义(,)dyfxydx1.一阶微分方程这里(,)fxy是定义在矩形域00:||,||Dxxayyb上的连续函数。问题：给定初值00()yxy，什么条件下解存在且唯一？？？2.利普希茨条件函数(,)fxy在矩形域00:||,||Dxxayyb上关于y满足利普希茨条件，如果存在常数0L使得不等式1212|(,)(,)|||fxyfxyLyy12(,),(,)xyxyD对于所有的都成立L其中称为利普希茨常数。二、存在唯一性定理=(,)(1)dyfxydx00:||,||Dxxayyb定理1(,)fxyDy如果在上连续且关于满足利普希茨条件，0(1)(),||yxxxh则方程存在唯一的连续解定义在上，连续且满足初值条件00()xy,min(,),max|(,)|xyDbhaMfxyM这里证明思路：5个步骤步骤1证明求解微分方程的初值问题等价于求解一个积分方程步骤2用逐次迭代法构造一个连续的逐步逼近序列步骤3证明此逐步逼近序列一致收敛步骤4证明此收敛的极限函数为所求的初值问题的解步骤5证明连续解的唯一性命题1初值问题(1.1)等价于积分方程00(,)(1.2)xxyyftydt证明:()(1.1),yx若为的连续解则00()(,())()dxfxxdxxy取定积分得到对第一式从xx000()()(,())xxxxfxxdx00()(,())xxxyfxxdx即()(1.2)yx故为的连续解。00(,),(1.1)()dyfxydxyxy()(1.2),yx若为的连续解则有反之00()(,())xxxyfttdt(,),fxyD由于在上连续(,()),ftt从而连续故对上式两边求导,得()(,())dxfxxdx且00000()(,())xxxyfxxdxy()(1.1).yx即为的连续解现在取构造毕卡逐步逼近函数列如下00()xy00100()(,())xnnxxyfdxhxxh),2,1(n(1.3).)(,,)(000的常数值往往取方便但实际上为可任取一般来说连续函数yxx注00()xy命题200[,],()nnxxxhx对于所有和连续且满足0()(1.4)nxyb证明:(用数学归纳法，只在正半区证明，另半区类似)1n时0100()(,)xxxyfyd100()[,],xxxh显然在上连续且01)(yxdyfxx0),(0dyfxx),(000xxMMhb),min(Mbah),(),(yxfMaxMRyx12n故时命题成立,nk设时002()[,]kxxxh命题成立，即在上连续0()kxyb且时当1kndfyxkxxk))(,()(001(,),fxyD由在上连续性知00(,())[,]kfxxxxh在100,()[,]kxxxh上连续从而在上连续且01)(yxkdfkxx))(,(0dfxxk0))(,(0xxMMhb1,2nk即当时成立命题成立2综上，命题得证命题3.],[)}({00上一致收敛在函数序列hxxxn].,[),()(lim00hxxxxxnn记证明:考虑函数项级数)9.3(],,[,))()(()(00110hxxxxxxnnn它的前n项部分和为),())()(()()(110xxxxxSnnkkkn.)9.3()}({一致收敛性等价一致收敛性与级数于是xn对级数(3.9)的通项进行估计)()(01xxdfxx0))(,(00xxM)()(12xxdffxx0))(,())(,(01dLxx0)()(01dxMLxx0)(020)(2xxML,条件得到的其中第二个不等式是由Lipschitz条件由Lipschitz有不等式设对于正整数,n)()(1xxnn,)(!01nnxxnML条件有由时则当Lipschitzhxxx,00)()(1xxnndffxxnn0))(,())(,(1dLxxnn0)()(1dxnMLxxnn0)(!0,)()!1(10nnxxnML于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有)()(1xxnn,)(!01nnxxnML)11.3(,00hxxx,00时从而当hxxx)()(1xxnnnnxxnML)(!01,!11收敛由于正项级数nnnhnML.],[)9.3(,00上一致收敛在级数判别法知由hxxsWeierstras.],[)}({00上一致收敛在因而函数序列hxxxn,!1nnhnML现设),()(limxxnn,00hxxx,],[)}({00得...