第四节函数展开成幂级数VIP免费

2 0 1 第四节 函数展开成幂级数 一、泰勒级数 前面讨论了这样一个问题，对于给定的幂级数，求出其收敛域并确定其和函数的性质，并在可能时求出和函数的表达式。这节我们讨论该问题的反问题：给定函数 xf，要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”，即是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数 xf。（如果能够找到这样的幂级数，就说 xf在该区间内可展开成幂级数。）解决这个问题有很重要的应用价值，因为它给出了函数 xf的一种新的表达方式，并使我们可以用简单函数——多项式来逼近一般函数 xf。 在第三章中我们已经学过 泰勒公式：若函数 xf在点0x 的某一邻域内具有直到1n阶的导数，则在该邻域内 xf的n 阶泰勒公式：     200000!2xxxfxxxfxfxf    xRxxnxfnnn00! (1 ) 成立，其中 xRn为拉格朗日型余项。    101!1nnnxxnfxR （之间与在xx0） 如果令00 x，就得到马克劳林公式：        xRxnfxfxffxfnnn!0!20002 （2 ） 202 此时，   11!1nnnxnxfxR （ 10 ） 公式说明，任一函数只要有直到1n阶的导数，就可等于某个n次多项式与一个余项的和。 下列幂级数      nnxnfxfxff!0!20002 （3） 我们称为马克劳林级数。那么它是否以函数 xf为和函数呢？ 若令马克劳林级数（3）的前1n项和为 xsn 1，即       nnnxnfxfxffxs!0!200021 那么，级数（3）收敛于函数 xf的条件为   xfxsnn1lim 由马克劳林公式与马克劳林级数的关系，可知    xRxsxfnn1 于是，当 0limxRnn时，有   xfxsnn1lim。 反之，若  xfxsnn1lim，必有 0limxRnn。 这表明，马克劳林级数（3）以  xf为和函数的充要条件，是马克劳林公式（2）中的余项 0xRn（当n时）。 这样，我们就得到了函数 xf的幂级数展开式：       nnxnfxfxffxf!0...