973-认知无线网络项目 认知无线网络行为分析与网络效能研究 V 1.0.0 (2011- 04-26) 973 项目； 认知无线网络的全局性能优化； 纳什均衡及帕累托最优的相关定理； 973-认知无线网络项目 1. 简介 本文档主要分两大部分： 第一部分，主要是纳什均衡的存在性与唯一性证明定理。 第二部分，帕累托最优的相关定理。 2. 纳什均衡 纳什均衡定义 行动组合12(,,...,)ksss s是纳什均衡，则对于任意参与者iK，有： (,)(,)iiiiiiiiususfor all sSs *s * 简言之，就是给定其他参与者策略的情况下，每个参与者选择使自己效用最大化的策略。所有参与者的策略构成的组合即为纳什均衡。 2.1 存在性定理 定理2.1.1[1][2]： （1）对所有的iK，策略空间(1, 2,...,)iSiK是欧式空间中一个非空的、紧的凸集； （2）效用函数( )ius 是连续的且对is 是拟凹的。 说明： 在数学中，欧几里得空间 nR 的子集 S 是紧的，如果它是闭合的并且是有界的。（注：若不是在欧式空间中，闭合且有界的集合不一定是紧集。） 如果一个集合所有的极限点都是这个集合中的点，那么这个集合是闭集。 S是凸 集 是指 ，对满 足 01的 ，只 要,xSyS，那 么 就有(1)xyS。简单而言，就是S 中的任何两点之间的直线段都属于S。 图 2-1 左图为凸集，右图为非凸集 定理2.1.2[3]： 973-认知无线网络项目 如果一个博弈G 是S-模博弈（S-modular games，SMG），则至少存在一个纯纳什均衡。 定义 1（S-模博弈S-modular games，SMG） 一个博弈G，如果满足： （1） iK ，iS 是欧式空间中的一个紧集； （2） iu 在s 上是上半连续； （3） ,iiiKss ，( )(,)iiiiususs是不减的。 则称 G 为超模博弈。 说明： 上半连续：设 X 为拓扑空间， 0xX，而:fXR为实值函数。 若对每个0 都存在 x0 的开邻域 U 使得0,( )()xUfxfx，则称 f 在 x0 上半连续。该条件也可以用上极限等价地表述： 00lim su p( )()xxfxfx 图 2-2 上半连续函数的例子（蓝点表0()fx） 图 2-3 下半连续函数的例子（蓝点表0()fx） 进一步地，若任意 ,ii u 具有二阶导，对于所有的iK，满足（1），则该博弈称为超模博弈（Supermodular games）。 20,iijuijKss (1) 973-认知无线网络项目 同理...
