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线性代数基础知识 行列式 克莱姆法则 注意 分母都为原方程组的系数行列式. 注意：在利用克莱姆法则解方程组时，系数行列式不能等于零。另外，方程组中方程的个数与未知数的个数必须相等。 二阶与三阶行列式的计算--------------对角线法则 在一个排列i1… is… it… in 中, 如果仅将它的两个数码 is 与 it对调, 其它数码不变, 得到另一个排列, 这样的变换, 称为一个对换. 定理 任一排列经过一次对换后改变奇偶性. 定理 n 个数码(n>1)共有 n!个 n 级排列, 其中奇偶排列各占一半. 上三角行列式 同理可得下三角行列式 对角行列式同上 ,2221121122212111aaaaababDDx.2221121122111122aaaababaDDx3 33 23 12 32 22 11 31 21 1aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa3 32 11 23 22 31 13 12 21 3aaaaaaaaa.)1(321321321321)( ppppppppptaaannnnaaaaaa00022 211 21 1.2 21 1nnaaannnnaaaaaa212 22 11 1000.2 21 1nnaaa另外 行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等，即DT=D 性质2 交换行列式的两行(列),行列式的值变号. 推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零. 性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数 k，等于用数 k 乘此行列式, 推论 如果行列式有两行(列)的对应元素成比例, 则行列式的值等于零. 性质4 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和. 注意: 只能拆一行或一列. 性质5 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数 k 后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变 余子式与代数余子式 余子式M 代数余子式A 行列式展开定理 n 阶行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应代数余子式乘积的和, 即 推论: 若行列式某行(列)的元素全为零,则行列式的值为零. 定理 行列式某一行的元素乘另一行对应元素的代数余子式之和等于零 范德蒙 (Vandermonde)行列式 矩阵 注意: 不同阶数的零矩阵是不相等的 当对角矩阵的主对角上的元都相同时，称为数量矩阵 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算. 矩阵加法的运算规律： n21.)1(212)1(nnn，记ijjiijMA)1(),,2,1(2211niAaAaAaDininiiii).,,2,1(2211njAaAaAaDn jn jjjjj1112112222121).(111jinj...