线性代数第六章二次型试题及答案二次型fVIP免费

1 第六章 二次型 一、基本概念 n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为 f(x 1,x 2,… ,xn)= a11x 12+2a12x 1x 2+2a13x 1x 3+… +2a1nx 1x n+ a22x 22+2a23x 1x 3+ … +2a1nx 1x n+ … +an nx n 2 =212niiiijijiija xa x x. 它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A nnnnnnnnninjjiijnxxxaaaaaaaaaxxxxxaxxxf21212222111211211121),,(),,( 记TxxxX,,21，则f(x 1,x 2,… ,xn)= X TA X 称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩. 注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AXXfT，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A（A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。 实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x1,x2,…,xn的变化范围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型. 标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2222211nn xdxdxdf 称为二次型的标准型。 规范二次型 形如221221qpppxxxx 的二次型，即平方项的系数只 1，-1，0，称为二次型的规范型。 二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系 对二次型f(x 1,x 2,… ,xn)引进新的变量y 1,y 2,… ,yn,并且把x 1,x 2,… ,xn 表示为它们的齐一次线性函数 nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111 代入 f(x 1,x 2,… ,xn)得到 y 1,y 2,… ,yn 的二次型g (y 1,y 2,… ,yn). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,… ,xn)作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵 c11 c12 … c1n C = c21 c22 … c2n … … … cn1 cn2 … cnn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CYX  YACCYCYACYAXXfTTTT)()()( 记 ACCBT，则BBT ，从而BYYfT。 由ACCBT知，两个n 阶对称矩阵A 与 B 合同且r(A)=r(B) 定理 1：二次型AXXfT经可逆线性变换CYX 后，变成新的二次型BYYfT，它的矩阵 ACCBT且)()(BrAr 定理 2：两个二次型可以用可逆线性变量替换互相转化的充分必要条件为它们的矩阵合同. 三、正交变换化二次型为标准型...