线性代数行列式经典例题VIP专享VIP免费

线性代数行列式经典例题 例1 计算元素为 aij = | i－j|的 n 阶行列式. 解 方法 1 由题设知，11a =0，121a，1,1,nan，故 011102120nnnDnn1,1,,2iir ri n n 011111111n  1 ,,1jnccjn1211021( 1 )2(1 )020001nnnnnn  其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 011102120nnnDnn11,2,,1111111120iir rinnn 12,,1001201231jccjnnnn=12( 1)2(1)nnn 例2. 设a, b, c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式: = 行列式 即为y2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3 计算Dn = 121100010nnnxxaaaxa 解： 方法1 递推法 按第1 列展开，有 Dn = x D1n+（－1）1na n 11111nxxx= x D1n+ a n 由于D 1= x + a1，2211xDaxa，于是Dn = x D1n+ a n =x（x D2n+a1n）+ an =x 2 D2n+ a1nx + an == x1n D 1+ a2 x2n++ a1nx + an =111nnnnxa xaxa 方法2 第2 列的x 倍，第3 列的x 2 倍，，第n 列的x1n倍分别加到第1 列上 12cxcnD 21121010010000nnnnxxxaxaaaxa 213cx c 32121231010000100010nnnnnnxxxaxax aaaaxa ==0111xfxnr按展开1( 1)nf1111nxxx=111nnnnxa xaxa 方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式． Dn21321111nnccxccxccx1122000000000nnnnnnnxxxaaaaaakxxx n按c展开 x1n kn = x1n( 1nnxa+ 21nnxa++ xa2 +a1+x) =111nnnnaaxa xx 方法4 nrnD按展开1( 1)nna1000100001xx+ 21( 1)nna 0000100001xx++212( 1) n a1000000001xx +21( 1) ()n ax100000000xxx =（－1）1n（－1）1na n +（－1）2n（－1）2n a1nx ++（－1）12 n（－1）a2 x2n +（－1）n2 ( a1+x) x1n = 111nnnnaaxa xx 例4． 计算n 阶行列式： 11212212nnnnnabaaaabaDaaab (1 20nb bb ) 解 采用升阶（或加边）法．...