线性回归的不确定度问题 一 基本概念 两个变量Y与X相关，并可能接近线性相关，希望找出这种戏相关关系：Y=aX+b 这是可能的，但只能是近似的而且不会是唯一的，用最小二乘法可以找到最佳线性相关关系。具体方法如下： 通过重复性或复现性试验，可以得到变量的一系列观测值，将这些观测值列表如下： j=1,2,…m ；i=1,2..n x1 x2 x3 xn y1.1 y2.1 y3.1 yn.1 y1.2 y2.2 y3.2 yn.2 y1.3 y2.3 y3.3 yn.3 y1.m y2.m y3.m yn.m y my xbay 4y 2y 1y x1 x2 x3 xn x xi 第 i个输入值 yij 第 i个输入值的第 j个响应值(观测值) 散点图（说明：由于本人在计算机上作图的能力有限，所以此图有很多信息未表达甚至有误，请注意。） 用这一系列输入值与观测值，根据最小的乘法原理可以回归出一条最佳直线： xbayˆˆˆ yˆ ——y的估计值（最佳） aˆ ——a的估计值（最佳） bˆ ——b的估计值（最佳） 理论上可以证明，这条直线通过散点图的几何重心（xˆ .yˆ ）所谓最佳直线，是指 y的各点观测值yi与回归后的估计值iyˆ 的残差平方和最小。（散点距回归直线距离最近） 一般情况下输入量 xi是标准值，其不确定度相对 y来说很小，可忽略。 二、各项参数计算 1.计算y的平均值 mjijiymy11 2.计算变量 x、y的平均值 niiniiynyxnx1111 3.计算Lxx, Lxy, Lyy（用各点观测值的平均值来回归的方法） Lxx=2221)(1)(iiniixnxxx Lxy=iiiiiniiyxnyxyyxx1))((1 Lyy=2212)(1)(iiniiynyyy 4.计算aˆ 、bˆ bˆ =xxxyLL aˆ =xbyˆ 5.得到回归函数（回归方程） xbayˆˆˆ 三、利用回归方程（在很多情况下，特别是测量领域，直线回归方程是作为校准直线来使用的）来求x或y的值。 xbayˆˆˆ 在回归时，x是输入量（标准值）y是输出（相应值） bayxˆ)ˆ(ˆ 回归方程得到后，在使用它时，往往y是输入量（已知量），xˆ 是未知量，y可能是单次测量值，也可能是多次测量值 接下来的问题在于： ① 回归函数的“质量”如何？y与x间是否确有较好的线性关系？ ② 利用回归函数来估计x或y时的不确定度？如何确定 四、回归函数的“质量”检验——显著性检验 1.三个方差 ① S总=21)(yynii ——反映了iy 的总的分散程度 ② S回=21)ˆ(yynii ——反映了回归值iyˆ 的分散程度...
