第五章 线性微分方程组 [教学目标] 1. 理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构， 2. 理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。 3. 掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法， 4. 理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。 5. 掌握常系数线性微分方程组的Lap lce 变换法。 [教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 16 学时 [教学内容] n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Lap lce 变换法。 [考核目标] 1.线性微分方程组解的性质与结构。 2.能够求解常系数线性微分方程组。 §5.1 存在唯一性定理 5.1.1 记号和定义 考察形如 1111122112211222221122( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnnnnnnxat xat xat xf txat xat xat xf txat xat xat xf t （5.1） 的一阶线性微分方程组，其中已知函数( )( ,1,2,, )ija t i jn和( )(1,2,, )if t in在区间atb 上上是连续的。方程组（5.1）关于12,,,nxxx 及12,,,nxxx 是线性的. 引进下面的记号： 111212122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnatatatatatatA tatatat （5.2） 这里( )A t 是 nn矩阵，它的元素是2n 个函数( )( ,1,2,, )ija t i jn. 12( )( )( )( )nf tf tf tf t 12nxxxx 12nxxxx （5.3） 这里( )f t ，x ，x 是1n 矩阵或n 维列向量。 注意，矩阵相加、矩阵相乘、矩阵与纯量相乘等等性质对于以函数作为元素的矩阵同样成立。这样一来，方程组（5 .1 ）可以写成下面的形式 ( )( )xA t xf t （5 .4 ） 引进下面的概念。 一个矩阵或者一个向量在区间atb 上称为连续的，如果它的每一个元素都是区间atb 上的连续函数。 一个nn矩阵( )B t 或者一个n 维列向量( )...
