线面垂直的判定与性质VIP免费

线面垂直 ●知识点 1.直线和平面垂直定义 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直. 2.线面垂直判定定理和性质定理 判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面. 判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面. 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 3.三垂线定理和它的逆定理. 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直. 逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直. ●题型示例 【例 1 】 如图所示，已知点S是平面ABC 外一点， ∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A 在直线SB 和SC 上的 射影分别为点E、F，求证：EF⊥SC. 【解前点津】 用分析法寻找解决问题的途径，假设 EF⊥SC 成立，结合 AF⊥SC 可推证 SC⊥平面AEF，这样 SC⊥AE，结合 AE⊥SB，可推证 AE⊥平面SBC，因此证明 AE⊥平面SBC 是解决本题的关键环节.由题设 SA⊥平面ABC， ∠ABC=90°，可以推证 BC⊥AE，结合 AE⊥SB 完成 AE⊥平 面SBC 的证明. 【规范解答】 【解后归纳】 题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键. 例1 题图 【例 2】 已知：M∩N= AB,PQ⊥M 于Q，PO⊥N 于O，OR⊥M 于R，求证：QR⊥AB. 【解前点津】 由求证想判定，欲证线线垂直，方法有（1）a∥b,a⊥c b⊥c;(2)a⊥α,bα a⊥b;(3)三垂线定理及其逆定理. 由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行. 【解后归纳】 处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”. 所谓“一个面”：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上. 所谓“四条线”：就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线，牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线. 【例 3】 已知如图(1)所示，矩形纸片 AA′A′1A1,B、C、B1、C1 分别为 AA′,A1A′的三等分点，将矩形纸片沿 BB1,CC1 折成如图(2)形状（正三棱柱），若面对角线AB1⊥BC1，求证:A1C⊥AB1. ...