. . 一、填空题1. 若212121312112)(xxxxxxxf，则)( xf，)(2xf . 2. 设 f 连续可微且0)(xf，若向量 d 满足，则它是f 在 x 处的一个下降方向。3. 向量T)3,2,1(关于 3 阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量有 . 4. 设RRfn:二次可微，则f 在 x 处的牛顿方向为 . 5. 举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法： . 6. 以下约束优化问题：0)(01)(..)(min212121xxxgxxxhtsxxf的 K-K-T 条件为： . 7. 以下约束优化问题：1..)(min212221xxtsxxxf的外点罚函数为（取罚参数为） . 二、证明题（ 7 分+8 分）1. 设1,2,1,:miRRgni和mmiRRhni,1,:1都是线性函数，证明下面的约束问题：},,1{,0)(},1{,0)(..)(min1112mmEjxhmIixgtsxxfjinkk是凸规划问题。2. 设RRf2:连续可微，niRa，Rhi，mi,2,1，考察如下的约束条件问题：. . },1{,0}2,1{,0..)(min11mmEibxamIibxatsxfiTiiTi设 d 是问题1||||,0,0..)(mindEidaIidatsdxfTiTiT的解，求证： d 是 f 在 x 处的一个可行方向。三、计算题（每小题12 分）1. 取初始点Tx)1,1()0(. 采用精确线性搜索的最速下降法求解下面的无约束优化问题（迭代 2 步）：22212)(minxxxf2. 采用精确搜索的BFGS算法求解下面的无约束问题：21222121)(minxxxxxf3. 用有效集法求解下面的二次规划问题：.0,001..42)(min2121212221xxxxtsxxxxxf4. 用可行方向算法（Zoutendijk算法或 Frank Wolfe算法）求解下面的问题（初值设为)0,0()0(x, 计算到)2(x即可 ) ：.0,033..221)(min21211222121xxxxtsxxxxxxf. . 参考答案一、填空题1. 3421242121xxxx42242. 0)(dxfT3. T)0,1,2(，T)1,0,3(（答案不唯一） 。4. )()(12xfxf5. 牛顿法、修正牛顿法等（写出一个即可）6. 0)(,0,0010021),,(21212121xxxxxxxxLx7. 2212221)1(21)(xxxxxF二、证明题1. 证明：要证凸规划，即要证明目标函数是凸函数且可行域是凸集。一方面，由于f 二次连续可微，Ixf2)(2正定，根据凸函数等价条件可知目标函数是凸函数。另一方面，约束条件均为线性函数，若任意Dyx,可行域，则EiyhxhyxhIiygxgyxgjjjiii0)()1()())1((0)()1()())1((故Dyx)1(，从而可行域是凸集。2. 证明：要证 d 是 f 在 x 处的一个可行方向，即证当Dx，nRd时，0 ，使得Ddx，],0(当Ii时，0iTibxa，0daTi，故0)(dabxabdxaTiiTiiTi；当Ei时，0iTibxa，0daTi，故0)(dabxabdxaTiiTiiTi. 因此， d 是 f 在 x 处的一个可行方向。....
