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1 证明题 1、设G是群，a∈G ，令CG（a）= {x|x∈G ，xa = ax}，证明：CG（a）≤G 2、设G ~ G ，H ≤G ，H = {x | x ∈G ，f（x）∈ H }。证明：H/Kerf ≌H . 3、证明：模m的剩余类环Zm的每一个理想都是主理想。 4、设R = coba ，a，b，c ∈Z ，I = ooxo x∈Z 。 （1）验证R是矩阵环Z2×2的一个子环。 （2）证明I是R的一个理想。 5、设G是群，u是G的一个固定元，定义“o”：aob = a u 2 b （a，b∈G），证明 （G，o）构成一个群. 6、设R为主理想整环，I是R的一个理想，证明R/I是域 I是由 R的一个素元生成的主理想. 7、证明：模m的剩余类环Zm的每个子环都是理想. 8、设G是群，H≤G。令NG（H） = {x | x∈G，xH = Hx }.CG（H）= { x | x∈G， h ∈H，hx = xh }.证明： （1）NG（H）≤G （2）CG（H）△NG（H） 9、证明数域 F = {a＋b 7 |a，b∈Q}的自同构群是一个2阶循环群. 10、设R是主理想环，I = （a）是R的极大理想，ε 是R的单位，证明：ε a 是R的一个素元. 11、设G与G 是两个群，G ~ G ，K = Kerf，H ≤G ，令H = {x |x∈G ，f(x) ∈H }，证明：H≤G且 H/K ≌H . 12、在多项式环Z[x]中，证明： （1）（3，x）= {3a0＋a1x＋„＋anxn|ai ∈Z}. （2）Z[x]/(3，x)含 3个元素. 13、设H是群G的子群,令NG(H)={x|xG, xH=Hx},证明NG(H)是G的子群． 14、在整数环Z中, a, bZ,证明(a, b)是Z的极大理想的充要条件是a, b的最大公因数是一个素数。 f f 2 15、设R=Zcbacba,,0, I=Zxx0020． (1) 验证R对矩阵的加法和乘法构成环。 (2) 证明I是R的一个理想。 16、设G是群，令 C={x|xG, yG, xy=yx},证明C是G的正规子群。 17、在整数环Z中, p, q是不同的素数,证明 (p) (q)=(pq), (p,q)=Z。 18、若Q是有理数域,证明(x)是Q[x]的极大理想。 19、设G=(a)是一无限循环群，证明G的生成元只有两个。 20、设G是交换群，证明G中一切有限阶元素组成的集合T是G的一个子群， 且TG除单位元之外不含有限阶元素。 21、设是质数ppnZnmnmR.1),(,,证明(R,+,)是整环（+,是数的加法与乘法）． 22、取定群G的元u,在G中定义新的“o” ：aob=au1 b. a.bG.证明（Ｇ，o）是群． 23、设A是实数域R上...