高中数学中的八种构造对偶式解题方法构造时偶式的八种途径在数学解题过程中,台理地构造形式相似.H 有某种对称关系的一对对偶美系式,并通过对这 对对偶共祭式进行适当的和,差,积等居算,行件.能使问题得到巧妙的解决,收判犷半功情的效果.• •・和差时偶对于表达式仪时土武制 1 我们可构造表达式仪价不讨幻作为它的对偶关系式.例 1 假设 OM " M 三 . IL3sin9 + 4cos.= 5,求 liui.的值. 2解析：构造对偶式：3sin^ —4cosZ? = yn - 5 + y那么产皿+ 4 皿占=5,得二产一二13sin^ - 4 cost? = y'5-y,■ ■ ,=——-1 R7i再山 sin,S l-c(仓 1.=】, 得：v - tant?=-.54点评：这种构造对偶式的方法属巧,宜有创意,有助「培养学生的创新思维和创造水平八例之己.抑 I：因,H.E 十*+/+/W 3懈：设 w =g+8『+5। G'+(" + 〃)" +协+cf + S+d)'构造对偶式：N = (a -ft)4 + (rt-r)4 +(J-dp +(b-+(h-dY + fr-d}A那么作M + N=6 ①4 + / + 6 +(1A + %" + 2a2u2 + 2a-1/2 + 2h~c2 + 昉声 + led2)=6(/ + / + / +1 r?6又 N 之 Q.他对 W6.即原不等式成立.例』解方程：W?十薪+21 + A/^-SA + 21 = 10M：构造对牺式:一〜/十 21 —JY 二舐十 21 一白,再由原方程联立可解得：J 八 8 工+ 21 -必二⑴{ j A,Jx2 - HH + 2]=,⑵L.2那么⑴ 3 + 12『得：2d + 42 = ；(10Q + /),(3)⑴2 — (2)2 得：16X=10<7,即° =」,5164 、代入(3)中得:2x2+42 = -(100+—x2), 22501A整理得：—x2 =4, 解得：工=±二 ・ 253二.互倒对偶互倒对偶是指针时式子的结构,通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式的方法.例 4 假设 x,y,zw (0,1), 求证： +F> 3 o1-x + y 1 一 歹 + z }-z + X解：设 “ =—!—+—!—+—!— l-x + y \-y + z 1-z + x构造对偶式：N = (1 — x + p) + (1 - y + z) + (1 - z + x),那么M + N =+.-x+ y) ++ (1- y+z)++ (1 -z + x) +\-x + y• 1 -y + z"1-z + x1-v + z>2+2+2=6而 N = 3,故历 2 3,即一!— + —!一 + 一!一 23. l-x + y I-y+ z I-z + x例 5 设 4, %, 6,…,见为互不相等的正整数,44、I 1I1m+T + r + ・・・+TNi + — + — + 一 ■1 22 殳〞22 3n解：设 M=q 十乌十牛十…十与,构造对偶式：.V = -!- + —+ ... +...
