微专题 05 函数的对称性与周期性一、根底知识(一)函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中央对称,均要求函数的定义域要关于对称轴(或对 称中央)对称2、轴对称的等价描述：(1)f (a — x)= f (a + x)= f G)关于％ = a 轴对称(当 a = 0 时,恰好就是偶函数)(2)f (a — x)= f (b + x)o f(x)关于 x = a+b 轴对称2在对称轴的情况下,构造形如 f (a — x)= f (b + x)的等式只需注意两点,一是等式 两侧 f 前面的符号相同,且括号内 x 前面的符号相反；二是 a,b 的取值保证 x =巴?为所给 对称轴即可.例如：f (x)关于 x = 1 轴对称 n f (x)= f (2 — x),或得到 f(3 —x)= f (—1 + x)均可,只是在求函数值方面,一侧是 f (x)更为方便(3)f (x + a)是偶函数,那么 f (x + a)=f (—x + a ),进而可得到：f (x)关于 x = a 轴对称. ① 要注意偶函数是指自变量取相反数,函数值相等,所以在 f (x + a)中,x 仅是括号中的一 局部,偶函数只是指其中的 x 取相反数时,函数值相等,即 f (x + a )= f (—x + a ),要与以 下的命题区分：假设 f(x)是偶函数,那么 f (x + a)= f [—(x + a)] ： f(x)是偶函数中的 x 占据整个括号,所 以是指括号内取相反数,那么函数值相等,所以有 f (x + a)= f [-(x + a)]② 本结论也可通过图像变换来理解,f (x + a)是偶函数,那么 f (x + a)关于 x = 0 轴对称, 而 f(x)可视为 f (x + a)平移了同个单位(方向由 a 的符号决定),所以 f(x)关于 x = a 对 称.3、中央对称的等价描述：(1)f(a — x) = — f(a + x)= f(x)关于(a,0)轴对称(当 a = 0 时,恰好就是奇函数)(2)f (a — x) = — f (b + x)o f(x)关于| 二 b,0 轴对称k 2)在对称中央的情况下,构造形如 f (a — x) = — f (b + x)的等式同样需注意两点,一是 等式两侧 f 和％前面的符号均相反；二是 a,b 的取值保证 X = a,为所给对称中央即可.例 如：f(x)关于(-1,0)中央对称 nf(X) = -f(-2 一 X),或得到 f(3-X)= — f(-5 + X)均 可,同样在求函数值方面,一侧是 f(x)更为方便(3)f(X + a)是奇函数,那么 f(X + a) = -f(-X + a),进而可得到：f(x)关于(a,0)轴对 称.① 要注意奇函数是指自变量取相反数,函数值相反,所以在 f (X + a)中,X 仅是括号中的一 局部,奇...
