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3-1 某弹簧质量系统1k ，m，具有自然频率1f，第 2 个弹簧2k 串联于第一个弹簧，其自然频率降至 1/21f ，求以1k 表示的2k 。解：1112kfm⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯. (1) 121212111k kkkkkk1221121122()k kffm kk⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (2) 122(1)2(2)kkk,则123kk3-2 如图所示，杆 a 与弹簧1k 和2k 相连，弹簧3k 置于杆 a 的中央，杆 b 与弹簧3k和4k相连，质量 m 置于杆 b 的中央。设杆 a 和杆 b 为质量和转动惯矩可忽略的刚性杆，并能在图示平面内自由移动和转动。求质量m 上、下振动的固有频率。解：1114xk2214xk1233122xxxk4412xk12341111161644exkkkk1234111111161644eekxkkkk所以n1234114111122()44ekfmmkkkk(2)nf3-3 求图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是1k 及3k ，悬臂梁的质量忽略不计。解：1k 和2k 为串联，等效刚度为：212112kkkkk。（因为总变形为求和）12k和3k 为并联（因为12k 的变形等于3k 的变形），则：2132312132121312123kkkkkkkkkkkkkkkk123k和4k 为串联（因为总变形为求和） ，故：424132312143243142141234123kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkke故：mken无质量m k1k2k3k4m k 1k2k3k43-4 求图所示系统的固有频率，刚性杆的质量忽略不计。解：m 的位置：AAxkmgxxx22aFmgl1 ，amglF1，11akmglxlaxxA1，1221kamglxalx AmgkkaklkamgkalkkamglkmgxxxA212221212221222212212212klkakkake，mkenF1mg x1xAk1k2m a l 3-5 在图所示的系统中，已知bamiki,,3,2,1和，横杆质量不计。求固有频率。解：对 m 进行受力分析可得：33xkmg，即33kmgx如图可得：22221111,kbamgakFxkbamgbkFxmgkkbakbkabaxxaxxxx21222121211022120323e12a kb k11xxxmgmgkkabk k则等效弹簧刚度为：2123223123212kkbakkbkkakkkbake则固有频率为：222132212321bkakkbakkmbakkkmkenmgbaaF 2mg abx1x2x0xmgbabF1k2k1abk3m 3-6 质量1m物体挂在弹簧/k Nm下端形成静平衡，第二个质量2m 从高度 h降落到物体1m 上，该碰撞为完全弹性碰撞，如图所示，求碰撞后下方质量的运动。解：由1m 的静平衡位置得位移：x由撞击后12mm 为自由体，分析力系动平衡，得到振动的运动平衡方程：122()mmxm gkx一般解：2cossintm gxAtBtk其中12kmm2m 从高度 h 处落下，其速度有能量守恒：222212m ghm v ，得到22vgh 。1m ，2m 碰撞后，由于2m 不反弹（完全弹性碰撞） ，所以能量守恒并不适用，根据动量...