2013 年全国初中数学竞赛试题参考答案 1 2013 年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题 1．设非零实数a ，b ，c满足2302340abcabc，，则222abbccaabc的值为（ ）． （A）12 （B）0 （C）12 （D）1 【答案】A 【解答】由已知得(234 )(23 )0abcabcabc，故2()0abc．于是2221 ()2abbccaabc ，所以22212abbccaabc ． 2．已知a ，b ，c是实常数，关于x的一元二次方程20axbxc有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）． （A）2222(2)0c xbac xa （B）2222(2)0c xbac xa （C）2222(2)0c xbac xa （D）2222(2)0c xbac xa 【答案】B 【解答】由于20axbxc是关于x 的一元二次方程，则0a ．因为12bxxa ，12cx xa，且120x x ，所以0c ，且 221212222221212()2112xxx x ba cxxx xc，22221211axxc， 于是根据方程根与系数的关系，以211x，221x为两个实根的一元二次方程是222220bacaxxcc，即2222(2)0c xbac xa． 3．如图，在Rt△ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥OC，垂足为E．若 AD，DB，CD 的长度都是有理数，则线段 OD，OE，DE，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）． （A）OD （B）OE （C）DE （D）AC （第 3 题） 2013 年全国初中数学竞赛试题参考答案 2 【答案】D 【解答】因AD，DB，CD 的长度都是有理数，所以，OA＝OB＝OC＝2ADBD是有理数．于是，OD＝OA－AD 是有理数． 由Rt△DOE∽Rt△COD，知2ODOEOC，·DC DODEOC都是有理数，而AC＝·AD AB 不一定是有理数． 4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F在线段BC 的延长线上，且4BCCF，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）． （A）3 （B）4 （C）6 （D）8 【答案】C 【解答】因为DCFE 是平行四边形，所以DE//CF，且EF//DC． 连接CE，因为DE//CF，即DE//BF，所以S△DEB = S△DEC， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积． 连接AF，因为EF//CD，即EF//AC，所以S△ACE = S△ACF． 因为4BCCF，所以S△ABC = 4S△ACF．故阴影部分的面积为6． 5．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为： ...
