1 2013 清华北大自主招生测评试题 数学 自主招生数学与逻辑测评试题 （考试时间：90 分钟，总分 100 分） 一、选择题：本大题共 6 小题．每小题 6 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设12,z z 为一对不相等的共轭复数，且2112= 3, zzz为实数，则12-z z 的值为（ ） A． 3 B．6 C．3 D．2 3 2.若点 P 在曲线2=--1yx上，点 Q 在曲线2=1+xy 上，则 PQ 的最小值为（ ） A．3 2 B． 3 22 C． 3 24 D． 3 282 3.在 ABC 中，三边和三角满足3cos- cos= 5aB bAc则 tan=tanAB（ ） A。3 B。4 C。5 D。6 4.如图，在正四棱锥 P−ABCD中，∠ APC=60° ，则二 面 角 A−PB−C的平 面 角的余 弦 值为（ ） A. 71 B. 71 C. 21 D. 21 5.设 P 是函 数2= +>2y xxx图像 上任 意 一点，过 点 P 分别 向 直 线 =y x和 y轴 作 垂 线，垂 足分别 为 A、B，则=PA PB（ ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 6.某 情 报 站 有 A、B、C、D 四种 互 不相同 的密 码 ，每周 使 用 一种 ，且每DABCPM 2 周 都 是 从 上 周 没 使 用 的 三 种 密 码 中 等 可 能 的 随 机 选 用 一 种 ， 设 第 一 周 使用 A 密 码 ， 则 第 七 周 也 使 用 A 密 码 的 概 率 为 （ ）（ 用 最 简 分 数 表 示 ） A． 4381 B．61243 C．48243 D． 6181 选 择 题 答 题 处 ： 1.( C ) 2.( C ) 3.( B ) 4.( B ) 5.( C ) 6.( ) 二 、 解 答 题 (每 题 16 分 ,共 64 分 ) 7.设 函 数 2=1-nnfxxx 在1 ,12上 的 最 大 值 为na =1,2,3,n （ 1） 求 数 列 na的 通 项 公 式 ； （ 2） 求 证 ： 对 任 何 正 整 数2n n ， 都 有21+2nan成 立 ； （ 3）设 数 列 an的 前 n 项 和 为 Sn ，求 证 ：对 任 意 正 整 数 n，都 有7S <16n成立 。 3 8.在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， AB=x， BC=1， 对 角 线 AC 与 BD 的 夹 角=45BOC， 记 直 线 AB 与 CD 的 距 离 为 h x ， 求 h x 的 表 达 式 ， 并 写 出x 的 取 值 范 围 。 4 229. 0,0,,,...
